Гармоническое число делителя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гармоническое число делителя (число Оре) — положительное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18 600, 18 620, …[1].

Например, число Оре 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Их гармоническое среднее является целым числом:

Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее:

5 является целым числом, а значит 140 является числом Оре.

Числа Оре и совершенные числа[править | править вики-текст]

Для любого числа произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому числу , что непосредственно следует из определений. Таким образом, является числом Оре с гармоническим средним делителем в том и только в том случае, когда среднее делителей является частным от деления на .

Оре показал, что любое совершенное число является гармоническим числом делителя. Так как сумма делителей совершенного числа в точности равна , среднее делителей равно , где означает число делителей числа . Для любого нечётна тогда и только тогда, когда является полным квадратом, в противном случае каждому делителю числа можно сопоставить другой делитель — . Но никакое совершенное число не может быть полным квадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, а нечётные совершенные числа (если такие есть) должны иметь множитель вида , где . Таким образом, для совершенного числа чётно и среднее делителей является произведением на . Таким образом, является гармоническим числом делителя.

Оре высказал предположение, что не существует нечётных гармонических чисел делителя, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенных чисел не существует.

Границы и компьютерный поиск[править | править вики-текст]

Показано, что любое нечётное гармоническое число делителя выше 1 должно иметь степень простого делителя больше 107, а также что любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простых делителя. Кроме того, установлено, что не существует гармонических чисел делителя, меньших 1024.

Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малых гармонических чисел делителя, в результате были найдены все гармонические числа делителя до 2×109 и все числа, для которых гармоническое среднее не превышает 300.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. последовательность A001599 в OEIS

Литература[править | править вики-текст]

  • Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli Odd harmonic numbers exceed 1024 // Mathematics of Computation. — 2010. — Т. 79, вып. 272. — С. 2451. — ISSN 0025-5718. — DOI:10.1090/S0025-5718-10-02337-9. Опубликовано в электроном виде 9 апреля 2010.
  • Joseph B. Muskat On Divisors of Odd Perfect Numbers // Mathematics of Computation. — American Mathematical Society, 1966. — Т. 20, вып. 93. — С. 141–144. — DOI:10.2307/2004277.