Гаусс, Карл Фридрих

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Карл Фридрих Гаусс
Carl Friedrich Gauß
Carl Friedrich Gauss.jpg
Имя при рождении

нем. Johann Carl Friedrich Gauss

Дата рождения:

30 апреля 1777(1777-04-30)[1][2][3][4]

Место рождения:
Дата смерти:

23 февраля 1855(1855-02-23)[1][2][3][4] (77 лет)

Место смерти:
Страна:
Научная сфера:

математика, механика, физика, астрономия, геодезия

Место работы:
Альма-матер:

Гёттингенский университет

Научный руководитель:

Пфафф, Иоганн Фридрих[12]

Известные ученики:

Фридрих Вильгельм Бессель, Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард, Георг Фридрих Бернхард Риман и Бойяи, Фаркаш

Награды и премии:

Премия имени Лаланда Парижской АН (1810)
Медаль Копли (1838)

Подпись:

Подпись

Commons-logo.svg Карл Фридрих Гаусс на Викискладе

Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист[13]. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»[14]. Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.

Биография[править | править вики-текст]

1777—1798 годы[править | править вики-текст]

Дом, где родился Гаусс (не сохранился)

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: . До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.

С учителем ему повезло: М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского) оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу закончить колледж Collegium Carolinum в Брауншвейге (1792—1795).

Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую и французскую литературу, которые читал в подлиннике. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле.

В колледже Гаусс изучил труды Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Уже там он сделал несколько открытий в теории чисел, в том числе доказал закон взаимности квадратичных вычетов. Лежандр, правда, открыл этот важнейший закон раньше, но строго доказать не сумел; Эйлеру это также не удалось. Кроме этого, Гаусс создал «метод наименьших квадратов» (тоже независимо открытый Лежандром) и начал исследования в области «нормального распределения ошибок».

С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете, где его учителем был А. Г. Кестнер[15]. Это — наиболее плодотворный период в жизни Гаусса.

1796 год: Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида (числом Ферма). Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на его могиле правильный 17-угольник, вписанный в круг.

С 1796 года Гаусс ведёт краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютону, не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности (эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их «мутациями»).

Все многочисленные опубликованные труды Гаусса содержат значительные результаты, сырых и проходных работ не было ни одной.

1798 год: закончен шедевр «Арифметические исследования» (лат. Disquisitiones Arithmeticae), напечатан только в 1801 году.

В этом труде подробно излагается теория сравнений в современных (введённых им) обозначениях, решаются сравнения произвольного порядка, глубоко исследуются квадратичные формы, комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, изложены свойства квадратичных вычетов, приведено доказательство квадратичного закона взаимности и т. д. Гаусс любил говорить, что математика — царица наук, а теория чисел — царица математики.

1798—1816 годы[править | править вики-текст]

Памятник Гауссу работы Фрица Шапера в Брауншвейге с изображенной на нём 17-лучевой звездой
Braunschweig Gauss-Denkmal 17-eckiger Stern.jpg

В 1798 году Гаусс вернулся в Брауншвейг и жил там до 1807 года.

Герцог продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печать его докторской диссертации (1799) и пожаловал неплохую стипендию. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры. До Гаусса было много попыток это сделать, наиболее близко к цели подошёл Д'Аламбер. Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4 различных её доказательства.

С 1799 года Гаусс — приват-доцент Брауншвейгского университета.

1801 год: избирается членом-корреспондентом Петербургской Академии наук.

После 1801 года Гаусс, не порывая с теорией чисел, расширил круг своих интересов, включив в него и естественные науки, в первую очередь астрономию. Поводом послужило открытие малой планеты Церера (1801), потерянной вскоре после обнаружения. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления, пользуясь разработанным им же новым вычислительным методом[13], и с большой точностью указал место, где искать «беглянку»; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена.

Слава Гаусса становится общеевропейской. Многие научные общества Европы избирают Гаусса своим членом, герцог увеличивает пособие, а интерес Гаусса к астрономии ещё более возрастает.

1805 год: Гаусс женился на Иоганне Остгоф. У них было трое детей, выжили двое — сын Йозеф и дочь Минна.

1806 год: от раны, полученной на войне с Наполеоном, умирает его великодушный покровитель-герцог. Несколько стран наперебой приглашают Гаусса на службу (в том числе в Петербург). По рекомендации Александра фон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директором Гёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти.

1807 год: наполеоновские войска занимают Гёттинген. Все граждане облагаются контрибуцией, в том числе огромную сумму — 2000 франков — требуется заплатить Гауссу. Ольберс и Лаплас тут же приходят ему на помощь, но Гаусс отклоняет их деньги; тогда неизвестный из Франкфурта присылает ему 1000 гульденов, и этот дар приходится принять. Только много позднее узнали, что неизвестным был курфюрст Майнцский, друг Гёте (по другим данным — епископ Франкфурта).

1809 год: новый шедевр, «Теория движения небесных тел». Изложена каноническая теория учёта возмущений орбит.

Как раз в четвёртую годовщину свадьбы умерла Иоганна, вскоре после рождения третьего ребёнка. Это самые тяжёлые годы для Гаусса. В следующем, 1810 году он женился вновь — на Вильгельмине («Минне») Вальдек, подруге Иоганны. Число детей Гаусса вскоре увеличилось до пяти.

1810 год: новые почести. Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества.

1811 год: появилась новая комета. Гаусс быстро и очень точно рассчитал её орбиту. Начал работу над комплексным анализом, открывает (но не публикует) теорему, позже переоткрытую Коши и Вейерштрассом: интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю.

1812 год: исследование гипергеометрического ряда, обобщающего разложение практически всех известных тогда функций.

Знаменитую комету «пожара Москвы» (1812) всюду наблюдают, пользуясь вычислениями Гаусса.

1815 год: публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры.

1816—1855 годы[править | править вики-текст]

1820 год: Гауссу поручают произвести геодезическую съёмку Ганновера. Для этого он разработал соответствующие вычислительные методы (в том числе методику практического применения своего метода наименьших квадратов), приведшие к созданию нового научного направления — высшей геодезии, и организовал съёмку местности и составление карт[13].

1821 год: в связи с работами по геодезии Гаусс начинает исторический цикл работ по теории поверхностей. В науку входит понятие «гауссовой кривизны». Положено начало дифференциальной геометрии. Именно результаты Гаусса вдохновили Римана на написание его классической диссертации о «римановой геометрии».

Итогом изысканий Гаусса была работа «Исследования относительно кривых поверхностей» (1822). В ней свободно использовались общие криволинейные координаты на поверхности. Гаусс далеко развил метод конформного отображения, которое в картографии сохраняет углы (но искажает расстояния); оно применяется также в аэро-, гидродинамике и электростатике.

1824 год: избирается иностранным почётным членом Петербургской Академии наук.

Гаусс в 1828 г.

1825 год: открывает гауссовы комплексные целые числа, строит для них теорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения сравнений высоких степеней.

1829 год: в замечательной работе «Об одном новом общем законе механики», состоящей всего из четырёх страниц, Гаусс обосновывает[16] новый вариационный принцип механики — принцип наименьшего принуждения. Принцип применим к механическим системам с идеальными связями и сформулирован Гауссом так: «движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, то есть происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной»[17].

Гаусс и Вебер. Скульптура в Гёттингене.

1831 год: умерла вторая жена, у Гаусса началась тяжелейшая бессонница. В Гёттинген приехал приглашённый по инициативе Гаусса 27-летний талантливый физик Вильгельм Вебер, с которым Гаусс познакомился в 1828 году, в гостях у Гумбольдта. Оба энтузиаста науки сдружились, несмотря на разницу в возрасте, и начинают цикл исследований электромагнетизма.

1832 год: «Теория биквадратичных вычетов». С помощью тех же целых комплексных гауссовых чисел доказываются важные арифметические теоремы не только для комплексных, но и для вещественных чисел. Здесь же Гаусс приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая с этого момента становится общепринятой.

1833 год: Гаусс изобретает электрический телеграф и (вместе с Вебером) строит его действующую модель.

1837 год: Вебера увольняют за отказ принести присягу новому королю Ганновера. Гаусс вновь остаётся в одиночестве.

1839 год: 62-летний Гаусс овладевает русским языком и в письмах в Петербургскую Академию просил прислать ему русские журналы и книги, в частности «Капитанскую дочку» Пушкина. Предполагают, что это связано с интересом Гаусса к работам Лобачевского, который в 1842 году по рекомендации Гаусса был избран иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества.

В том же 1839 году Гаусс в сочинении «Общая теория сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» изложил основы теории потенциала, включая ряд основополагающих положений и теорем — например, основную теорему электростатики (теорема Гаусса)[18].

1840 год: в работе «Диоптрические исследования» Гаусс разработал теорию построения изображений в сложных оптических системах[18].

Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене. Король Ганновера Георг V приказал отчеканить в честь Гаусса медаль, на которой были выгравированы портрет Гаусса и почётный титул «Mathematicorum Princeps» — «король математиков».

Научная деятельность[править | править вики-текст]

С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии, математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, а также в аналитической и небесной механике, астрономии, физике и геодезии[13]. «В каждой области глубина проникновения в материал, смелость мысли и значительность результата были поражающими. Гаусса называли „королём математиков“»[19] (лат. Princeps mathematicorum).

Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этой темой незавершённой. На его личной печати было изображено дерево с несколькими плодами, под девизом: «Pauca sed matura» (немного, но спелые)[20]. Изучение архива Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих открытий, и в результате его опередили другие математики. Вот неполный перечень упущенных им приоритетов.

Несколько студентов, учеников Гаусса, стали выдающимися математиками, например: Риман, Дедекинд, Бессель, Мёбиус.

Алгебра[править | править вики-текст]

Гаусс дал первые строгие, даже по современным критериям, доказательства основной теоремы алгебры.

Он открыл кольцо целых комплексных гауссовых чисел, создал для них теорию делимости и с их помощью решил немало алгебраических проблем. Указал знакомую теперь всем геометрическую модель комплексных чисел и действий с ними.

Гаусс дал классическую теорию сравнений, открыл конечное поле вычетов по простому модулю, глубоко проник в свойства вычетов.

Геометрия[править | править вики-текст]

Гаусс впервые начал изучать внутреннюю геометрию поверхностей. Он открыл характеристику поверхности (гауссову кривизну), которая не изменяется при изгибаниях, тем самым заложив основы римановой геометрии. В 1827 году опубликовал полную теорию поверхностей. Доказал Theorema Egregium — основную теорему теории поверхностей. Труды Гаусса по дифференциальной геометрии дали мощный толчок развитию этой науки на весь XIX век. Попутно он создал новую науку — высшую геодезию.

Гаусс первым (по некоторым данным[13], примерно в 1818 году) построил основы неевклидовой геометрии и поверил в её возможную реальность[21]. Однако за всю свою жизнь он ничего не опубликовал на эту тему, вероятно, опасаясь быть непонятым из-за того, что развиваемые им идеи шли вразрез с догматом евклидовости пространства в доминирующей в то время кантовской философии)[22]. Тем не менее, сохранилось письмо Гаусса к Лобачевскому, в котором ясно выражено его чувство солидарности, а в личных письмах, опубликованных после его смерти, Гаусс восхищается работами Лобачевского. В 1817 году он писал астроному В. Ольберсу[23]:

Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придём к взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с механикой.

В его бумагах обнаружены содержательные заметки по тому предмету, что позже назвали топологией. Причём он предсказал фундаментальное значение этого предмета.

Древняя проблема построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки была решена Гауссом окончательно (см. теорему Гаусса — Ванцеля).

Математический анализ[править | править вики-текст]

Гаусс продвинул теорию специальных функций, рядов, численные методы, решение задач математической физики. Создал математическую теорию потенциала.

Много и успешно занимался эллиптическими функциями, хотя почему-то ничего не публиковал на эту тему.

Аналитическая механика[править | править вики-текст]

Главным вкладом Гаусса в аналитическую механику стал его принцип наименьшего принуждения. Для аналитического оформления данного принципа большое значение имела[24] работа Г. Шеффлера (1820—1903) «О Гауссовом основном законе механики»[25], опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределил[26] принуждение (нем. Zwang) как следующее (в современных обозначениях[27]) выражение:

 ,

где   — число точек, входящих в систему,  — масса -й точки,  — равнодействующая приложенных к ней активных сил,  — допустимое ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). Под «допустимыми ускорениями» здесь понимаются[28] такие ускорения точек системы, которые в данном её состоянии можно реализовать, не нарушая связей; действительные ускорения (возникающие под действием реально приложенных к точкам системы сил) представляют собой частный случай допустимых ускорений.

После этого принцип Гаусса обрёл ту форму, которая используется при его изложении и в современных курсах теоретической механики: «При действительном движении механической системы с идеальными связями принуждение принимает значение, наименьшее из всех возможных значений при движениях, совместимых с наложенными связями»[29]. Данный принцип относится[30] к числу дифференциальных вариационных принципов механики. Он обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется[31] в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем.

Астрономия[править | править вики-текст]

В астрономии Гаусс, в первую очередь, интересовался небесной механикой, изучал орбиты малых планет и их возмущения. Он предложил теорию учёта возмущений и неоднократно доказывал на практике её эффективность.

В 1809 году Гаусс нашёл способ определения элементов орбиты по трём полным наблюдениям (если для трёх измерений известны время, прямое восхождение и склонение).

Другие достижения[править | править вики-текст]

Для минимизации влияния ошибок измерения Гаусс использовал свой метод наименьших квадратов, который сейчас повсеместно применяется в статистике. Хотя Гаусс не первый открыл распространённый в природе нормальный закон распределения, но он настолько тщательно его исследовал, что график распределения с тех пор часто называют гауссианой.

В физике Гаусс развил теорию капиллярности, теорию системы линз. Заложил основы математической теории электромагнетизма и при этом первым ввёл понятие потенциала электрического поля, а в 1845 г. пришёл к мысли о конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий. В 1832 г. создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы: единицу длины — 1 мм, единицу времени — 1 с, единицу массы — 1 мг; эта система послужила прообразом системы единиц СГС. Совместно с Вебером Гаусс построил первый в Германии электромагнитный телеграф. Изучая земной магнетизм, Гаусс изобрёл в 1837 г. униполярный магнитометр, в 1838 г. — бифилярный[18].

Увековечение памяти[править | править вики-текст]

В честь Гаусса названы:

С именем Гаусса связано множество теорем и научных терминов в математике, астрономии и физике, некоторые из них:

В литературе и кино[править | править вики-текст]

Жизни Гаусса и Александра фон Гумбольдта посвящён фильм «Измеряя мир» («Die Vermessung der Welt», 2012, Германия). Фильм снят по одноимённому роману писателя Даниэля Кельмана[33].

Переводы трудов на русский язык[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Немецкая национальная библиотека, Берлинская государственная библиотека, Баварская государственная библиотека и др. Record #104234644 // общий нормативный контроль — 2012—2016.
  2. 1 2 data.bnf.fr: платформа открытых данных — 2011.
  3. 1 2 3 4 5 6 Allgemeine Deutsche Biographie / Hrsg.: Historische Commission bei der königl. Akademie der Wissenschaften — 1875.
  4. 1 2 Архив по истории математики Мактьютор
  5. 1 2 3 4 Гаусс Карл Фридрих // Большая советская энциклопедия: [в 30 т.] / под ред. А. М. Прохоров — 3-е изд. — М.: Советская энциклопедия, 1971. — Т. 6 : Газлифт — Гоголево. — С. 144–145.
  6. 1 2 http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00207160.2012.689826
  7. 1 2 http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00207160.2012.689826
  8. 1 2 http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/2014JA019973/full
  9. 1 2 http://www.nytimes.com/2010/05/11/business/11views.html
  10. 1 2 http://www.maa.org/publications/maa-reviews/50th-imo-50-years-of-international-mathematical-olympiads
  11. 1 2 http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-642-14565-0_3.pdf
  12. 1 2 Математическая генеалогия — 1997.
  13. 1 2 3 4 5 Боголюбов, 1983, с. 121—123.
  14. Гиндикин С. Г.  Рассказы о физиках и математиках. — М.: МЦНМО, 2001.  Глава «Король математиков».
  15. Боголюбов, 1983, с. 219.
  16. Тюлина, 1979, с. 178.
  17. Гаусс К.  Об одном новом общем принципе механики (Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik / Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 1829. Bd. IV. — S. 232—235.) // Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред. Л. С. Полака. — М.: Физматгиз, 1959. — 932 с. — С. 170—172.
  18. 1 2 3 Храмов, 1983, с. 76.
  19. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.)  Математика XIX века. Т. 1. — М.: Наука, 1978. — С. 52.
  20. Дербишир Дж.  Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — М.: Астрель, 2010. — ISBN 978-5-271-25422-2. — С. 76—77.
  21. Гаусс К. Ф.  Отрывки из писем и черновиков, относящиеся к неевклидовой геометрии // Основания геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1956.
  22. Обычно говорят, что он боялся быть непонятым. Действительно, в одном письме, где затрагивается вопрос о пятом постулате и неевклидовой геометрии, Гаусс пишет: «бойтесь крика беотийцев» <…> Возможно, однако, другое объяснение молчания Гаусса: он один из немногих понимал, что, как бы много интересных теорем неевклидовой геометрии ни было выведено, это еще ничего не доказывает — всегда теоретически остается возможность, что в качестве дальнейших следствий будет получено противоречивое утверждение. А может быть, Гаусс понимал (или чувствовал), что в то время (первая половина XIX в.) еще не найдены математические понятия, позволяющие точно поставить и решить этот вопрос. // Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. XII, пар. 2, — Физматлит, Москва, 2009.
  23. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. — М.: Гостехиздат, 1956. — С. 103.
  24. Моисеев, 1961, с. 334.
  25. Göttinger Digitalisierungszentrum: Seitenansicht
  26. Тюлина, 1979, с. 179—180.
  27. Маркеев, 1990, с. 90.
  28. Голубев, 2000, с. 417.
  29. Дронг В. И., Дубинин В. В., Ильин М. М. и др.  Курс теоретической механики / Под ред. К. С. Колесникова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. — 758 с. — ISBN 978-5-7038-3490-9. — С. 526.
  30. Маркеев, 1990, с. 89.
  31. Голубев, 2000, с. 427.
  32. Гелиотроп Гаусса
  33. Измеряя мир

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]