Геодезическая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геодези́ческая (Геодези́ческая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» в искривлённых пространствах. Конкретное определение геодезической линии зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трёхмерное пространство, геодези́ческие ли́нии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, прямолинейные образующие и окружности, на сфере — дуги больших окружностей.

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике, так, например, пробное тело в общей теории относительности движется по геодезической линии пространства-времени. По сути, временная эволюция всех лагранжевых систем может рассматриваться как движение по геодезической в специальном пространстве. Так представима вся теория калибровочных полей.

Дифференциальная геометрия[править | править исходный текст]

Многообразия с аффинной связностью[править | править исходный текст]

В многообразиях с аффинной связностью \nabla геодезическая — это кривая \gamma(t), удовлетворяющая уравнению

 \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0.

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля

\frac{d^2x^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{~\mu \nu }\frac{dx^\mu }{dt}\frac{dx^\nu }{dt} = 0\ , где x^\mu (t) — координаты кривой.

Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.

Римановы и псевдоримановы многообразия[править | править исходный текст]

В римановых и псевдоримановых пространствах, геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии

E(\gamma)=\int\limits_\gamma\limits\! g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt.

Здесь \gamma(t) — кривая в пространстве, gметрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия).

Это условие эквивалентно тому, что

 \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0

вдоль всей кривой, где \nabla обозначает связность Леви-Чивита.

Метрическая геометрия[править | править исходный текст]

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).

Для римановых многообразий это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.

Использование в физике[править | править исходный текст]

Геодези́ческие ли́нии активно используются в релятивистской физике. Так, например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.

Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
  • А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
  • М.М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.