Геометрическая прогрессия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : [1].

Описание[править | править вики-текст]

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

Если и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при  — знакочередующейся[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры[править | править вики-текст]

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8-9.

Свойства[править | править вики-текст]

  • , если .
  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
    .
  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:
    .
  • Сумма первых членов геометрической прогрессии:
  • Если , то при , и
    при .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
  2. Геометрическая прогрессия — статья из Большой советской энциклопедии (3-е издание).
  3. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

См. также[править | править вики-текст]