Геометрический остов

Геометрический остов (англ. geometric spanner) или t-остовной граф, или t-остов первоначально был введён как взвешенный граф на множестве точек в качестве вершин, для которого существует t-путь между любой парой вершин для фиксированного параметра t. t-путь определяется как путь в графе с весом, не превосходящим в t раз пространственное расстояние между конечными точками. Параметр t называется коэффициентом растяжения остова.

В вычислительной геометрии концепцию первым обсуждал Л.П. Чу в 1986, хотя термин «spanner» (остов) в статье упомянут не был.

Понятие остовных деревьев известно в теории графов — t-остова, это остовные подграфы графов с похожими свойствами растяжения, где расстояние между вершинами графа определяется в терминах теории графов. Поэтому геометрические остовы являются остовными деревьями полных графов, вложенных в плоскость, в которых веса рёбер равны расстояниям между вершинами в соответствующей метрике.

Остовы могут быть использованы в вычислительной геометрии для решения некоторых задач на близость. Они находят также приложения в других областях, таких как планирование движения, в коммуникационных сетях — надёжность сети, оптимизация роуминга в мобильных сетях и т.д..

Различные остовы и меры качества

Существуют различные меры, используемые для анализа качества остовов. Наиболее распространёнными мерами являются число рёбер, общий вес и максимальная степень вершин. Асимптотически оптимальные значения для этих мер —$O(n)$ рёбер, $O(MST)$ для общего веса и $O(1)$ для максимальной степени (здесь MST означает вес минимального остовного дерева).

Известно, что поиск остова на евклидовой плоскости с минимальным растяжением на n точках с максимум m рёбрами является NP-трудной задачей.

Есть много алгоритмов, которые хорошо ведут себя при различных мерах качества. Быстрые алгоритмы включают остовную вполне разделенную декомпозицию пар (англ. Well-separated pair decomposition, WSPD) и тета-графы, которые строят остовы с линейным числом рёбер за время $O(n\log n)$. Если требуются лучшие веса и степени вершин, жадный остов вычисляется почти за квадратичное время.

Тета-граф

Основная статья: Тета-граф

Тета-граф или $\Theta$-граф принадлежит семейству основанных на конусе остовов. Основной метод построения заключается в разделении пространства вокруг каждой вершины на множество конусов (плоский конус — это два луча, то есть угол), которые разделяют оставшиеся вершины графа. Подобно графам Яо, $\Theta$-граф содержит максимум по одному ребру для конуса. Подход отличается в способе выбора рёбер. В то время как графы Яо выбирают ближайшую вершину согласно метрическому расстоянию в графе, $\Theta$-граф определяет фиксированный луч, содержащийся в каждом конусе (обычно биссектриса конуса) и выбираются ближайшие соседи (то есть имеющие наименьшее расстояние до луча).

Жадный остов

Основная статья: Жадный геометрический остов

Жадный остов или жадный граф определяется как граф, получающийся путём многократного добавления ребра между точками, не имеющими t-пути. Алгоритмы вычисления этого графа упоминаются как алгоритмы жадного остова. Из построения тривиально следует, что жадные графы являются t-остовами.

Жадный остов открыли в 1989 независимо Альтхёфер и Берн (не опубликовано).

Жадный остов достигает асимптотически оптимальное число рёбер, общий вес и максимальную степень вершины и даёт лучшие величины меры на практике. Он может быть построен за время $O(n^{2}\log n)$ с использованием пространства $O(n^{2})$.

Триангуляция Делоне

Главным результатом Чу было то, что для множества точек на плоскости существует триангуляция этих наборов точек, такая, что для любых двух точек существует путь вдоль рёбер триангуляции с длиной, не превосходящей $\scriptstyle {\sqrt {1}}0$ евклидова расстояния между двумя точками. Результат был использован в планировании движения для поиска приемлемого приближения кратчайшего пути среди препятствий.

Лучшая верхняя известная граница для триангуляции Делоне равна $\scriptstyle {(4{\sqrt {3}}/9)\pi }\approx 2{,}418$-остова для его вершин. Нижняя граница была увеличена с $\scriptstyle {{\pi }/2}$ до 1,5846.

Вполне разделенная декомпозиция пар

Основная статья: Вполне разделенная декомпозиция пар

Остов может быть построен из вполне разделенной декомпозиции пар следующим образом. Строим граф с набором точек $S$ в качестве вершин и для каждой пары $\{A,B\}$ в WSPD добавляем ребро из произвольной точки $a\in A$ в произвольную точку $b\in B$. Заметим, что получающийся граф имеет линейное число рёбер, поскольку WSPD имеет линейное число пар.

Доказательство корректности алгоритма

Нам нужны эти два свойства WSPD:

Лемма 1: Пусть $\{A,B\}$ будет вполне разделенной декомпозицией пар по отношению к $s$. Пусть $p,p'\in A$ и $q\in B$. Тогда $|pp'|\leqslant (2/s)|pq|$.

Лемма 2: Пусть $\{A,B\}$ будет вполне разделенной декомпозицией пар по отношению к $s$. Пусть $p,p'\in A$ и $q,q'\in B$. Тогда, $|p'q'|\leqslant (1+4/s)|pq|$.

Пусть $\{A,B\}$ будет вполне разделенной декомпозицией пар по отношению к $s$ в WSPD. Пусть $[a,b]$ будет ребром, соединяющим $A$ с $B$. Пусть есть точка $p\in A$ и точка $q\in B$. По определению WSPD достаточно проверить, что есть $t$-остовной путь, или $t$-путь для краткости, между $p$ и $q$, который обозначим $P_{pq}$. Обозначим длину пути $P_{pq}$ через $|P_{pq}|$.

Предположим, что есть $t$-путь между любой парой точек с расстоянием, меньшим или равным $|pq|$ и $s>2$. Из неравенства треугольника, предположений и факта, что $|pa|\leqslant (2/s)|pq|\Rightarrow |pa|<|pq|$ и $|bq|\leqslant (2/s)|pq|\Rightarrow |bq|<|pq|$ согласно Лемме 1 мы имеем:

$|P_{pq}|\leqslant t|pa|+|ab|+t|bq|$

Из леммы 1 и 2 мы получаем:

${\begin{aligned}|P_{pq}|&\leqslant t(2/s)|pq|+(1+4/s)|pq|+t(2/s)|pq|\\&=t(4/s)|pq|+(1+4/s)|pq|\\&=\left({\frac {4t+4}{s}}\right)|pq|+|pq|\\&=\left({\frac {4(t+1)}{s}}+1\right)|pq|\end{aligned}}$

Так что:

${\begin{aligned}t&={\frac {4(t+1)}{s}}+1\\t-1&={\frac {4(t+1)}{s}}\\s(t-1)&=4(t+1)\\s(t-1)-4(t+1)&=0\\st-s-4t-4&=0\\t(s-4)-s-4&=0\\t(s-4)&=s+4\\t&={\frac {s+4}{s-4}}\end{aligned}}$

И так, если $t=(s+4)/(s-4)$ и $s>4$, то мы имеем $t$-остов для набора точек $S$.

Согласно доказательству можно иметь произвольное значение для $t$ путём выражения $s$ из $t=(s+4)/(s-4)$, что даёт $s=4(t+1)/(t-1)$.