Геометрическое броуновское движение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геометрическое броуновское движение (GBM) (реже, экспоненциальное броуновское движение, экономическое броуновское движение) — случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет собой броуновское движение(винеровский процесс). GBM применяется в целях моделирования ценообразования на финансовых рынках и используется преимущественно в моделях ценообразования опционов, так как GBM может принимать любые положительные значения. GBM является разумным приближением к реальной динамике цен акций, не учитывающем, однако, редкие события (выбросы).

Случайный процесс St является GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

где есть броуновское движение, а («параметр сноса») и («параметр волатильности») постоянны.

Для произвольного начального значения S0 данное СДУ имеет решение

что есть логнормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией

Корректность решения может быть установлена с использованием леммы Ито. Случайная величина log(St/S0) распределена нормально с матожиданием и дисперсией , что означает, что приращения GBM нормальны (с учётом цены), что даёт основание говорить о «геометричности» процесса.