Геометрическое броуновское движение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геометрическое броуновское движение (GBM) (реже, экспоненциальное броуновское движение, экономическое броуновское движение) — случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет собой броуновское движение(винеровский процесс). GBM применяется в целях моделирования ценообразования на финансовых рынках и используется преимущественно в моделях ценообразования опционов, так как GBM может принимать любые положительные значения. GBM является разумным приближением к реальной динамике цен акций, не учитывающем, однако, редкие события (выбросы).

Случайный процесс St является GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

 dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t

где  W_t есть броуновское движение, а  \mu («параметр сноса») и  \sigma («параметр волатильности») постоянны.

Для произвольного начального значения S0 данное СДУ имеет решение

 S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right),

что есть логнормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием \mathbb{E}(S_t)= e^{\mu t}S_0 и дисперсией \operatorname{Var}(S_t)= e^{2\mu t}S_0^2 \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).

Корректность решения может быть установлена с использованием леммы Ито. Случайная величина log(St/S0) распределена нормально с матожиданием  (\mu - \sigma^2/2)t и дисперсией  \sigma^2t , что означает, что приращения GBM нормальны (с учётом цены), что даёт основание говорить о «геометричности» процесса.