Геометрическое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Геометрическое распределение
Функция вероятности
Geometricpdf.jpg
Функция распределения
Geometriccdf.jpg
Обозначение
Параметры — число «неудач» до первого «успеха»
— вероятность «успеха»
— вероятность «неудачи»
— номер первого «успеха»
— вероятность «успеха»
— вероятность «неудачи»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана N/A N/A
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Под Геометри́ческим распределе́нием в теории вероятностей подразумевают одно из двух распределений дискретной случайной величины:

  • распределение вероятностей случайной величины равной номеру первого «успеха» в серии испытаний Бернулли и принимающей значения  ;
  • распределение вероятностей случайной величины равной количеству «неудач» до первого «успеха» и принимающей значения .

Определение[править | править код]

  • Говорят, что случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , и пишут , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха .
.
Построим случайную величину  — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины называется геометрическим с вероятностью «успеха» , что обозначается следующим образом: . Функция вероятности случайной величины имеет вид: .

Замечание[править | править код]

  • Иногда полагают по определению, что  — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму где . В таблице справа приведены формулы для обоих вариантов.
  • Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты[править | править код]

Пусть и . Тогда производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

,

откуда

,
.
Справедливо, что .

Свойства геометрического распределения[править | править код]

  • Из всех дискретных распределений с носителем и фиксированным средним геометрическое распределение является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
  • Если независимы и , то
.

Отсутствие памяти[править | править код]

Если , то , то есть количество прошлых «неудач» не влияет на количество будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Связь с другими распределениями[править | править код]

  • Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения: .
  • Если независимы и , то
.

Пример[править | править код]

Пусть игральная кость кидается до выпадания первой шестёрки.

  • Рассчитайте вероятность того, что число испытаний, проводимых до первого успеха, включая последнее, успешное испытание будет не больше трёх.
Положим . Тогда
.
  • Рассчитайте вероятность того, что число «неудач» до первого «успеха» будет не больше двух.
Положим . Тогда
.

См. также[править | править код]