Геометрическое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Геометрическое распределение
Функция вероятности
Geometricpdf.jpg
Функция распределения
Geometriccdf.jpg
Обозначение
Параметры —число «неудач» до первого «успеха»
— вероятность «успеха»
— вероятность «неудачи»
—номер первого «успеха»
— вероятность «успеха»
— вероятность «неудачи»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана N/A N/A
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — бесконечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину  — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины называется геометрическим с вероятностью «успеха» , что обозначается следующим образом: .

Функция вероятности случайной величины имеет вид:

Замечание[править | править вики-текст]

  • Иногда полагают по определению, что  — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму . В таблице справа приведены формулы для обоих вариантов.
  • Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

,

откуда

,
.

Свойства геометрического распределения[править | править вики-текст]

  • Из всех дискретных распределений с носителем и фиксированным средним геометрическое распределение является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
  • Если независимы и , то
.

Отсутствие памяти[править | править вики-текст]

Если , то , то есть количество прошлых «неудач» не влияет на количество будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения: .
  • Если независимы и , то
.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть игральная кость кидается до выпадания первой шестёрки. Тогда вероятность, что нам потребуется не больше трёх бросков, равна

.

Ожидаемое число бросков равно

.

Генерация случайных чисел[править | править вики-текст]

,

где RAND() - равномерно распределенная случайная величина на (0,1], FLOOR(x) - функция округления до ближайшего целого, расположенного слева от x.

См. также[править | править вики-текст]

Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула