Гиперболическая неподвижная точка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гиперболическая неподвижная точка (гиперболическая точка) — фундаментальное понятие, использующееся в теории динамических систем по отношению к отображениям (диффеоморфизмам) и векторным полям. В случае отображения гиперболической точкой называется неподвижная точка, в которой все мультипликаторы (собственные числа линеаризации отображения в данной точке) по модулю отличны от единицы. В случае векторных полей гиперболической точкой называется особая точка, в которой все собственные числа линеаризации поля имеют ненулевые вещественные части.

Простейший пример гиперболической особой точки векторного поля — седло.

Устойчивое и неустойчивое многообразия[править | править код]

В гиперболической точке векторного поля (или диффеоморфизма) касательное пространство раскладывается в прямую сумму двух инвариантных подпространств и , инвариантных относительно оператора линейной части поля: . Подпространства и определяются определяются соответственно условиями , в случае векторных полей и условиями , в случае диффеоморфизмов. Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованного векторного поля (диффеоморфизма) в данной точке, они называются его неустойчивым и устойчивым, соответственно.

Неустойчивым и устойчивым многообразиями исходного нелинейного векторного поля (диффеоморфизма) называются его инвариантные многообразия и , касающиеся соответственно подпространств и в рассматриваемой точке и имеющие те же размерности, что и . Многообразия и определяются единственным образом[1]. Отметим, что многообразия и существуют не только в случае гиперболических особых точек, однако в случае гиперболической точки сумма их размерностей равна размерности всего пространства, и других инвариантных многообразий, проходящих через данную особую точку, не существует[2].

Теоремы о гиперболических точках[править | править код]

Теорема Гробмана — Хартмана. В окрестности гиперболической точки нелинейного диффеоморфизма (векторного поля) динамика отличается от таковой для соответствующего линейного отображения (векторного поля) непрерывной заменой координат.

Теорема Адамара — Перрона.[3][4] В окрестности гиперболической точки гладкого (или аналитического) векторного поля или диффеоморфизма существуют неустойчивое и устойчивое многообразия и такого же класса гладкости (соответственно, аналитические), проходящие через данную точку.

Теорема Ченя.[5][6] Если в окрестности гиперболической точки два -гладких векторных поля (диффеоморфизма) формально эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга посредством формальной замены переменных, заданной формальными степенными рядами), то они -гладко эквивалентны.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]