Гиперболическое множество

В теории динамических систем, говорят, что диффеоморфизм $f$$f$ многообразия $M$$M$ гиперболичен на инвариантном множестве $\Lambda$$\Lambda$, если касательное расслоение над $\Lambda$$\Lambda$ допускает непрерывное разложение в прямую сумму,

$T_{\Lambda }M=E^{u}\oplus E^{s},$$T_{\Lambda }M=E^{u}\oplus E^{s},$

причём подрасслоения $E^{u}$$E^{u}$ и $E^{s}$$E^{s}$ инвариантны относительно динамики, и вектора $E^{u}$$E^{u}$ растягиваются, а вектора $E^{s}$$E^{s}$ сжимаются под действием динамики:

$\|f^{n}(v)\|\leq c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s},$$\|f^{n}(v)\|\leq c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s},$

$\|f^{n}(v)\|\geq c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u},$$\|f^{n}(v)\|\geq c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u},$

где $c_{1},c_{2}>0$$c_{1},c_{2}>0$ и $\mu >1>\lambda >0$$\mu >1>\lambda >0$ — константы.

Также в этом случае говорят, что $\Lambda$$\Lambda$ — гиперболическое инвариантное множество отображения $f$$f$.

Линейные системы

Линейная система ОДУ называется гиперболической, если все её собственные значения (вообще говоря, комплексные) имеют отличные от нуля вещественные части.

См. также

• Диффеоморфизм Аносова
• Подкова Смейла

Литература

• Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.