Гипероператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике гиперопера́тор — это обобщение традиционных операторов (арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно), на высшие порядки. В общем случае, из-за некоммутативности гипеоператор имеет две обратные функции — гиперкорень и гиперлогарифм.

История[править | править код]

В 1928 году ученик Давида Гильберта, математик Вильгельм Аккерман опубликовал в качестве примера всюду определённой, не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функцию от трёх аргументов , такую, что для она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

;

;

.

С 1976 года, после публикации стрелочной нотации Кнута, оригинальную функцию Аккермана стало возможным записать в более удобном виде:

.[1]

Помимо её исторической роли как первой всюду определённой не примитивно рекурсивной вычислимой функции, оригинальная функция Аккермана расширяла основные арифметические операции за возведение в степень, хотя и не так хорошо, как специально предназначенные для этого функции вроде последовательности гипероператоров Гудстейна.[2]

Определение[править | править код]

Гипероператор порядка с аргументами и (далее обозначаемый как ) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка к последовательности из одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен ):

  • сложение и — увеличение числа на количество единиц, равное :
  • умножение на — сложение числа с самим собой раз:
  • возведение a в степень b — умножение числа на само себя раз:

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных , и ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по разному:

В итоге получаем:

Обобщение первых трёх операций (сложение, умножение, возведение в степень) в инфиксной форме имеет вид:

Тогда гипероператор определяется как и

Распишем для первых натуральных четырёх n:

Обратные операции[править | править код]

Как уже говорилось выше, в силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет две обратные функции — гиперкорень (примем обозначения или ) и гиперлогарифм (примем обозначения или ).

В силу коммутативности, гиперкорень и гиперлогарифм сложения совпадают и образуют вместе обратную операцию сложения — вычитание:

.

Точно так же совпадают обратные операции умножения, образуя одну обратную операцию умножения — деление:

.

Уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм).

Обратные операции обобщаются для гипероператора любого порядка.

Альтернативные операции[править | править код]

Вычисление слева направо[править | править код]

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с Гипероператором при :

Для гипероператора вычисление слева направо (то есть альтернативная операция) отличается от гипероператора и проводит к другому результату, например, для получим гипероператор тетрацию: .

Но вычисление степенной башни слева направо приведёт к неверному итогу: .

Впрочем, и этот результат имеет право на существование, но в качестве применения иной операции, нежели гипероператор, которая нуждается в соответственно отличном обозначении.

Примечания[править | править код]

  • Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68-73.
  • Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.
  1. Cristian Calude, Solomon Marcus, Ionel Tevy The first example of a recursive function which is not primitive recursive // Historia Mathematica. — 1979-11. — Т. 6, вып. 4. — С. 380–384. — ISSN 0315-0860. — DOI:10.1016/0315-0860(79)90024-7.
  2. Функция Аккермана (рус.) // Википедия. — 2017-12-31.

См. также[править | править код]