Гиперфункция (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гиперфункция (математика) — развитие понятия обобщённой функции. Гиперфункция одной переменной является разностью предельных значений на вещественной оси двух голоморфных функций, определённых, соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости. Гиперфункции многих переменных определены как элементы некоторой когомологической группы с коэффициентами в пучке голоморфных функций[1]. Гиперфункции были открыты Микио Сато в 1958 году[2][3].

Гиперфункция одной переменной[править | править код]

Гиперфункция одной переменной может рассматриваться как разность на вещественной оси между одной голоморфной функцией , определённой на верхней комплексной полуплоскости, и другой , определённой на нижней комплексной полуплоскости - [1]. Гиперфункция одной переменной определяется лишь разностью двух функций на вещественной оси и не изменяется при добавлении к и одной и той же голоморфной на всей комплексной плоскости функции , так что гиперфункции и определяются как эквивалентные.

Гиперфункция многих переменных[править | править код]

Пусть - предпучок в , определённый следующим образом[4]: если не ограничено, то ; если ограничено, то ; Ограничения определены так: , если не ограничено, , если ограничено. Пучком гиперфункций на называется пучок , ассоциированный с передпучком .

Гиперфункция на определяется: покрытием , где открыты и ограничены; и элементами , для которых .

Два таких набора и определяют одну и ту же гиперфункцию, если

Примеры[править | править код]

  • Для всякой голоморфной на всей комплексной плоскости функции f гиперфункцией является её значения на вещественной оси, представимые в виде или .
  • Функция Хевисайда может быть представлена как гиперфункция:

Операции над гиперфункциями[править | править код]

  • Умножение на аналитическую функцию. Пусть - аналитическая функция, - аналитический функционал. Тогда произведение определено формулой .

Гиперфункцию определяет последовательность [5]

  • Свертка. Пусть - голоморфный функционал , - голоморфная функция с топологией. Тогда свёртка определяется формулой . Гиперфункцию определяет последовательность [6]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Шапира, 1972, с. 5.
  2. Sato, Mikio (1959), "Theory of Hyperfunctions, I", Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry Т. 8 (1): 139–193 
  3. Sato, Mikio (1960), "Theory of Hyperfunctions, II", Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry Т. 8 (2): 387–437 
  4. Шапира, 1972, с. 61.
  5. Шапира, 1972, с. 65.
  6. Шапира, 1972, с. 66.

Литература[править | править код]

  • Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир, 1965. — 379 с.
  • Шапира П. Теория гиперфункций. — М.: Мир, 1972. — 141 с.
  • Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том I. Теория распределений и анализ Фурье. — М.: Мир, 1986. — 462 с.