Гипотеза Борсука

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Разрезания отрезка, треугольника и тетраэдра на части меньшего диаметра.

Гипотеза Бо́рсука (проблема Борсука) — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии:

Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в -мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1?

Выдвинута Каролем Борсуком в 1933 году. Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев[⇨] и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало[1]. Однако в 1993 году найден контрпример[⇨]. По состоянию на 2019 год доказано, что гипотеза верна при , и неверна для , статус утверждения для остаётся невыясненным.

Разрезание правильного шестиугольника ширины 1 на 3 части диаметра меньше 1.

Положительные решения[править | править код]

Случай очевиден. Случай был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом Дьюлы Пала (венг. Pál Gyula) 1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра . Кроме того, Борсук доказал, что -мерный шар нельзя разделить на частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на теореме Борсука — Улама).

В 1946 году Хадвигер доказал справедливость гипотезы при всех для выпуклых тел с гладкой границей[2].

В 1947 году Юлиан Перкаль (польск. Julian Perkal) доказал случай для всех ограниченных тел[3], независимо от него в 1955 году этот же результат получил британский математик Эгглстон; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже Бранко Грюнбаумом и Альдаром Хеппешем; они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.

По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для центрально-симметричных тел. В 1971 году Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно действия группы преобразований, оставляющих на месте правильный -мерный симплекс.

В 1993 году Борис Декстер установил справедливость гипотезы для выпуклых тел с поясом из регулярных точек[4], в 1995 году им же положительно решена проблема для всех тел вращения в произвольных размерностях[5].

Число Борсука[править | править код]

Число Борсука  — наименьшее число возможных частей меньшего диаметра, на которые можно разбить всякое ограниченное тело в -мерном пространстве. Параллельно с подтверждением гипотезы в частных случаях, улучшались нижние и верхние оценки для . Сравнительно легко получены оценки и . В 1983 году Маршалл Лассак установил, что .

Среди асимптотических верхних оценок долгое время лучшей была оценка Клода Роджерса (англ. Claude Ambrose Rogers; 1965): ; в 1988 году Одед Шрамм установил, что:

.

Отрицательные решения[править | править код]

Отрицательное решение проблемы в общем случае выявлено в 1993 году Гилем Калаем (англ. Gil Kalai) и Джеффом Каном (англ. Jeff Kahn)[6], построившими контрпример в размерности , и доказавшими невыполнение гипотезы для всех . Кроме того, они показали, что для достаточно больших , существуют -мерные тела, которые нельзя разбить на частей меньшего диаметра. В последующие годы размерность, выше которой гипотеза не выполняется, последовательно снижалась:

  • 1994 — (Нилли),
  • 1997 — (Вайссбах — Грей),
  • 1997 — (Райгородский)[7],
  • 2000 — (Вайссбах),
  • 2001 — (Хинрихс),
  • 2002 — (Пихурко),
  • 2003 — (Хинрихс — Рихтер)[8],
  • 2013 — (Бондаренко)[9],
  • 2013 — (Йенрих)[10].

Для построения контпримеров во всех случаях использовались конечные множества и использованы тонкие комбинаторные результаты[11]. Нижние оценки для минимального числа частей меньшего диаметра в большинстве контрпримеров — , в одном из результатов Райгородского (1999) эта оценка улучшена до .

Вариации и обобщения[править | править код]

В 1953 году Дэвид Гейл выдвинул гипотезу, что любое тело единичного диаметра в трёхмерном пространстве допускает разбиение на 4 части с диаметром:

,

то есть шар является «наихудшим» в этом смысле телом[12].

В 1971 году гипотеза Борсука подтверждена для сферического и гиперболического пространств при [13]. В 1991 году этот результат обобщён на произвольные размерности для центрально-симметрических выпуклых гиперповерхностей[14].

В 2012 году изучены аналоги проблемы Борсука в пространстве с евклидовой метрикой и с метрикой [15].

В 2019 году рассмотрен вопрос о разбиении произвольных ограниченных метрических пространств на заданное количество подмножеств меньшего диаметра, и выявлены критерии осуществимости и неосуществимости такого разбиения в зависимости от расстояния по метрике Громова — Хаусдорфа от заданного пространства до симплексов заданной мощности, где под симплексом понимается метрическое пространство, в котором все ненулевые расстояния одинаковы[16].

Примечания[править | править код]

  1. Райгородский, 2006, с. 27.
  2. Болтянский — Гохберг, 1965, с. 34.
  3. Грюнбаум, 1971, с. 62.
  4. B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for convex bodies with a belt of regular points // Geometriae Dedicata. — 1993. — Т. 45. — С. 301–306.
  5. B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution // Journal of Geometry. — 1995. — Т. 52. — С. 64–73.
  6. J. Kahn, G. Kalai. A counterexample to Borsuk’s conjecture (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 1993. — Vol. 29, no. 1. — P. 60—62. — arXiv:math.MG/9307229.
  7. А. М. Райгородский. О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318). — С. 181—182.
  8. A. Hinrichs, C. Richter. New sets with large Borsuk numbers // Discrete Mathematics. — 2003. — Т. 270. — С. 137—147.
  9. Andriy V. Bondarenko. On Borsuk’s conjecture for two-distance sets. — 2013. — arXiv:1305.2584.
  10. Thomas Jenrich. A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture. — 2013. — arXiv:1308.0206.
  11. Райгородский, 2006.
  12. Райгородский, 2006, с. 16.
  13. А. С. Рисслинг. Проблема Борсука в пространствах постоянной кривизны // Украинский геометрический сборник. — Харьков. — Т. 11. — С. 78—83.
  14. А. Д. Милка. Аналог проблемы Борсука // Известия вузов. Серия математическая. — 1992. — № 5. — С. 58—63.
  15. А. Б. Купавский, Е. И. Пономаренко, А. М. Райгородский. О некоторых аналогах проблемы Борсука в пространстве  // Труды МФТИ. — 2012. — Т. 12, № 1. — С. 81—90.
  16. А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov–Hausdorff Distances to Simplexes. — arXiv:1906.10574v1.

Литература[править | править код]