Гипотеза Борсука

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Разрезания отрезка, треугольника и тетраэдра на части меньшего диаметра.

Гипо́теза Бо́рсука — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии.

Формулировка[править | править вики-текст]

Верно ли, что любое тело диаметра d в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d?

История[править | править вики-текст]

Гипотеза была выдвинута Каролем Борсуком в 1933 г. Сам Борсук доказал, что -мерный шар нельзя разделить на частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей. Доказательство основано на теореме Борсука — Улама.

Разрезание правильного шестиугольника ширины 1 на 3 части диаметра меньше 1.
  • Гипотеза была подтверждена в некоторых случаях:
    • Случай n = 1 очевиден.
    • Случай n = 2 был доказан самим Борсуком в 1933 году. Идея состоит в том, что любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, корорый в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра как показано на рисунке.
    • Случай n = 3 был доказан Эгглстоном в 1955 году. Простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено позже Бранко Грюнбаумом и Хеппесом.
    • При всех n для выпуклых тел с гладкой границей — результат Хадвигера (1946).
    • При всех n для всех центрально-симметричных тел. Доказано А. С. Рисслингом.
    • При всех n для всех тел вращения — результат Бориса Декстера 1995 года.
  • Контрпримеры
    • В 1993 году Калай[en] и Кан[en][1] построили контрпример в размерности и доказали, что гипотеза неверна для всех . Кроме того, они показали, что для достаточно больших , существуют -мерные тела, которые нельзя разбить на части меньшего диаметра (здесь [x] обозначает целую часть x).
    • В 1997 году А. М. Райгородский представил контрпример[2] в размерности n = 561, обобщаемый на все размерности, большие, чем 561[3].
    • В 2003 году А.Хинрихс, Х.Рихтер получили результат[4], который показывает, что гипотеза неверна для всех .
    • В 2013 году доказано, что гипотеза Борсука неверна для всех [5] [6].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 1, 60—62.
  2. А. М. Райгородский О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318). — С. 181—182.
  3. М. Л. Гервер, “О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры”, Матем. просв., сер. 3, 3, МЦНМО, М., 1999, 168–183. www.mathnet.ru. Проверено 13 марта 2016.
  4. A. Hinrichs and C. Richter, New sets with large Borsuk numbers, Discrete Math. 270 (2003), 137—147
  5. Andriy V. Bondarenko, On Borsuk's conjecture for two-distance sets
  6. Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

Литература[править | править вики-текст]