Гипотеза Борсука

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Разрезания отрезка, треугольника и тетраэдра на части меньшего диаметра.

Гипо́теза Бо́рсука — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии.

Формулировка[править | править код]

Верно ли, что любое тело диаметра d в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d?

История[править | править код]

Гипотеза была выдвинута Каролем Борсуком в 1933 г. Сам Борсук доказал, что -мерный шар нельзя разделить на частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей. Доказательство основано на теореме Борсука — Улама.

Разрезание правильного шестиугольника ширины 1 на 3 части диаметра меньше 1.
  • Гипотеза была подтверждена в некоторых случаях:
    • Случай n = 1 очевиден.
    • Случай n = 2 был доказан самим Борсуком в 1933 году. Идея состоит в том, что любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, который в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра как показано на рисунке.
    • Случай n = 3 был доказан Эгглстоном в 1955 году. Простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено позже Бранко Грюнбаумом и Хеппесом.
    • При всех n для выпуклых тел с гладкой границей — результат Хадвигера (1946).
    • При всех n для всех центрально-симметричных тел. Доказано А. С. Рисслингом.
    • При всех n для всех тел вращения — результат Бориса Декстера 1995 года.
  • Контрпримеры
    • В 1993 году Калай[en] и Кан[en][1] построили контрпример в размерности и доказали, что гипотеза неверна для всех . Кроме того, они показали, что для достаточно больших , существуют -мерные тела, которые нельзя разбить на части меньшего диаметра (здесь [x] обозначает целую часть x).
    • В 1997 году А. М. Райгородский представил контрпример[2] в размерности n = 561, обобщаемый на все размерности, большие, чем 561[3].
    • В 2003 году А.Хинрихс, Х.Рихтер получили результат[4], который показывает, что гипотеза неверна для всех .
    • В 2013 году доказано, что гипотеза Борсука неверна для всех [5] [6].

Примечания[править | править код]

  1. J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 1, 60—62.
  2. А. М. Райгородский О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318). — С. 181—182.
  3. М. Л. Гервер, “О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры”, Матем. просв., сер. 3, 3, МЦНМО, М., 1999, 168–183. www.mathnet.ru. Проверено 13 марта 2016.
  4. A. Hinrichs and C. Richter, New sets with large Borsuk numbers Архивная копия от 27 сентября 2007 на Wayback Machine, Discrete Math. 270 (2003), 137—147
  5. Andriy V. Bondarenko, On Borsuk's conjecture for two-distance sets
  6. Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

Литература[править | править код]