Гипотеза Брокара

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипо́теза Брока́ра — известны две гипотезы теории чисел, сформулированные Брокаром.

Гипотеза Брокара о квадратах простых чисел[править | править вики-текст]

Формулировка: [1]

Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первых двух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числа последовательности \pi(p_{n+1}^2) - \pi(p_n^2), кроме первого, не меньше 4, где \pi(x) — количество простых чисел, меньших x.

n p_n p_n^2 Простые числа \Delta
1 2 4 5, 7 2
2 3 9 11, 13, 17, 19, 23 5
3 5 25 29, 31, 37, 41, 43, 47 6
4 7 49 53, 59, 61, 67, 71… 15
5 11 121 127, 131, 137, 139, 149… 9
\Delta обозначает \pi(p_{n+1}^2) - \pi(p_n^2).

На начало 2011 года не доказана и является одной из открытых математических проблем. Верна для первых 10 тыс. простых чисел, см. сдвинутую на один вправо последовательность последовательность A050216 в OEIS: 2, 2 (№ 1), 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, 57, 44…

Гипотеза Лежандра[править | править вики-текст]

Схожая и тоже недоказанная гипотеза Лежандра, также называемая третьей проблемой Ландау, утверждает, что[2]

Между квадратами натуральных чисел всегда найдётся простое число, или, что равносильно, функция \pi(n^2) строго возрастает с ростом n.

Гипотеза Брокара о факториалах[править | править вики-текст]

Существуют ли другие числа n, кроме 4, 5, 7, такие, что n!+1=k^{2}, где k - целое число? Сформулирована Брокаром в 1876 и 1885 гг. В 2000 г. при помощи компьютера было показано, что для факториалов чисел до 1 миллиарда других таких чисел нет[3].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Weisstein, Eric W. Гипотеза Брокара (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Weisstein, Eric W. Гитотеза Лежандра (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Стюарт, 2016, с. 404.

Литература[править | править вики-текст]