Гипотеза Диксона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм при , имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий с целыми , причем . Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число кратно p. Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение . В последнем случае на p может делиться как несколько прогрессий при разных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для 2-х прогрессий всегда , а для 2-х других прогрессий при четных n , а при нечетных — , так что в парах прогрессий и число простых пар не бесконечно.

Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа , но и отрицательные числа (каковые действительно являются простыми элементами в кольце в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий и значит условие можно ослабить до , а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе  — не арифметическая прогрессия.

Частные случаи[править | править вики-текст]

  • Случай уже доказан — это теорема Дирихле.
  • Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
  • Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида , t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар , , и т. п.)
  • Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n , то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары , тройки , четверки и т. д.)
  • В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Эвристические соображения в пользу гипотезы[править | править вики-текст]

Пусть  — число решений сравнения . Согласно предположению гипотезы, и тогда согласно эвристическим рассуждениям в пользу гипотезы Бейтмана-Хорна, получаем, что плотность чисел n, не превосходящих x, для которых все числа простые, оценивается величиной

здесь произведение берется по всем простым числам p, а  — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна

но 1-е выражение должно быть точнее. При , нетрудно проверить, коэффициент будет равен , что соответствует теореме Дирихле (здесь  — функция Эйлера).

Обобщения[править | править вики-текст]

Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]