Гипотеза Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
График количества простых чисел между n2 и (n + 1)2

Гипотеза Лежандра (3-я проблема Ландау) — математическая гипотеза из семейства результатов и гипотез относительно интервалов между простыми числами, согласно которой для любого натурального существует простое число между и . Является одной из проблем Ландау. Сформулирована Лежандром в 1808 году,[1] по состоянию на 2024 год ни доказана, ни опровергнута.

Промежутки простых чисел

[править | править код]

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что число простых чисел между и [2] асимптотически стремится к . Поскольку это число растёт при росте , это даёт основания для гипотезы Лежандра.

Если гипотеза верна, интервал между любым простым и следующим простым всегда должен быть порядка [3], как выражено в -нотации. Две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана — предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана, но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.

Если верна гипотеза Крамера (о том, что промежутки имеют порядок ), то гипотеза Лежандра будет следовать из неё для достаточно больших . Крамер также показал, что из гипотезы Римана вытекает более слабая граница размера наибольшего интервала между простыми числами[4].

Контрпример в районе 1018 должен был бы иметь интервал в 50 миллионов раз больше среднего интервала.

Из гипотезы Лежандра следует, что по меньшей мере одно простое может быть найдено в каждой половинке оборота спирали Улама.

Частичные результаты

[править | править код]

В начале 2000-х годов установлено, что существует простое число в интервале для всех больших [5].

Таблица максимальных интервалов простых чисел показывает[6], что гипотеза выполняется до .

Было доказано, что для бесконечного количества чисел выполняется

где  — функция распределения простых чисел[7].

Примечания

[править | править код]
  1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И РАСШИРЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ ЛЕЖАНДРА В ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
  2. последовательность A014085 в OEIS.
  3. Это следствие факта, что разница между двумя последовательными квадратами имеет порядок их квадратных корней.
  4. Stewart, 2013, с. 164.
  5. Baker, Harman, Pintz, Pintz, 2001, с. 532—562.
  6. Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014, с. 2033—2060.
  7. Hassani, Mehdi (2006). "Counting primes in the interval (n2, (n + 1)2)". arXiv:math/0607096. {{cite arXiv}}: Неизвестный параметр |lang= игнорируется (справка)

Литература

[править | править код]
  • Baker R. C., Harman G., Pintz G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Vol. 83, iss. 3. — P. 532—562. — doi:10.1112/plms/83.3.532.
  • Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to  (англ.) // Mathematics of Computation. — 2014. — Vol. 83, iss. 288. — P. 2033—2060. — doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1.
  • Ian Stewart. Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems (англ.). — Basic Books, 2013. — ISBN 9780465022403..
  • Weisstein, Eric W. Legendre's conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Hashimoto, Tsutomu (2008). "On a certain relation between Legendre's conjecture and Bertrand's postulate". arXiv:0807.3690.
  • Mitra, Adway; Paul, Goutam; Sarkar, Ushnish (2009). "Some conjectures on the number of primes in certain intervals". arXiv:0906.0104.
  • Paz, German (2013). "On Legendre's, Brocard's, Andirca's and Oppermann's conjectures". arXiv:1310.1323.