Гипотеза Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре (решена)
Гипотеза Римана
Решение уравнений
квантовой теории
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипо́теза Ри́мана — сформулированная немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году[⇨] математическая гипотеза о том, что дзета-функция Ри́мана (введённая Эйлером в 1737 году) принимает нулевые значения только в отрицательных чётных целых числах: (где эти простые нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции), и комплексных числах с вещественной частью нетривиальные» нули дзета-функции Римана)[⇨]. Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что[⇨]:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную .

Таким образом, если гипотеза верна, все нетривиальные нули дзета-функции Римана (число которых бесконечно) лежат на критической прямой , состоящей из комплексных чисел , где действительное число, а мнимая единица.

Особое значение гипотезы Римана для чистой (теория чисел) и применимой (криптография) математики состоит в (предположительной) взаимосвязи рисунка распределения на критической прямой нетривиальных нулей дзета-функции Римана с асимптотикой распределения простых чисел. Хотя не было найдено какой-либо закономерности в распределении простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих , — функция распределения простых чисел — выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции. Гипотеза стала основой для дальнейшего доказательства Адамаром и Валле-Пуссеном (1896) теоремы о распределении простых чисел[⇨].

Также были выдвинуты гипотезы о возможной связи статистических свойств нетривиальных нулей дзета-функции Римана (а значит — и простых чисел) с явлениями квантовой физики, в частности — с квантовым хаосом[⇨].

Гипотеза Римана часто рассматривается в качестве важнейшей нерешённой математической проблемы[1]. Сама гипотеза, в совокупности с гипотезой Гольдбаха, составляют восьмую проблему Гильберта — одну из немногих недоказанных по состоянию на 2019 год проблем Гильберта. Также гипотеза Римана — единственная из проблем Гильберта, включённая (2000) в список семи «Задач тысячелетия», за решение каждой из которых Математическим институтом Клэя обещана награда в один миллион долларов США.

Существует ряд математических проблем, доказанных в предположении верности гипотезы Римана, где её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел.

На 2004 год численными методами было подтверждено, что более 1013 (десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют этой гипотезе[⇨].

Формулировка[править | править код]

Действительная (красная) и мнимая (синяя) компоненты дзета-функции

Дзета-функция Римана определена для всех комплексных и имеет нули в отрицательных чётных, то есть , такие нули называются тривиальными.

Из функционального уравнения и явного выражения при , где  — функция Мёбиуса, следует, что все остальные нули (называемые «нетривиальными»), расположены в полосе симметрично относительно так называемой «критической линии» .

Гипотеза Римана[править | править код]

Гипотеза Римана утверждает, что:

«Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную (действительную) часть, равную »,

то есть являются комплексными числами, расположенными на прямой .

Обобщённая гипотеза Римана[править | править код]

Обобщённая гипотеза Римана - аналог гипотезы Римана для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Эквивалентные формулировки[править | править код]

Риманом была изложена эквивалентная формулировка, гласящая, что все корни кси-функции Римана ξ(s) вещественны.

В 1901 году Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

при

Ещё несколько эквививалентных формулировок:

  • Для всех выполняется неравенство
  • Для всех выполняется неравенство где ψ(x) — вторая функция Чебышёва,
  • Для всех выполняется неравенство где  — сумма делителей числа , а  — постоянная Эйлера-Маскерони. Неравенство нарушается при n = 5040 и некоторых меньших значениях (всего 27 исключений), но Гай Робин в 1984 году показал, что оно соблюдается для всех бóльших целых, тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна, и что последовательность исключений из условия теоремы Робина бесконечно много, если гипотеза Римана неверна. Известно также, что наименьшее из таких чисел-исключений n ≥ 5041 должно быть сверхизбыточным числом[en][2].
  • Для всех выполняется неравенство где  — гармоническое число[3].
  • Для любого положительного выполняется неравенство , где  — функция Мертенса, см. также обозначение O большое. Более сильная гипотеза была опровергнута в 1985 году[4].
  • Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: .
  • Показано, что гипотеза Римана истинна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение

не имеет нетривиальных решений для .

История[править | править код]

В 1859 году Бернхард Риман опубликовал работу «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» (англ.)[5]. В рамках предположения о верности гипотезы Риман писал:

«... И в самом деле, в указанных пределах содержится, примерно, столько действительных корней; представляется весьма вероятным, что и все корни являются действительными. Во всяком случае было бы желательно найти строгое доказательство этого предложения; после нескольких напрасных, не очень настойчивых попыток разыскать таковое, я временно от них отказался, так как для ближайшей цели моего исследования в этом не представлялось надобности.»

В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых и .

В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера»[6].

Титчмарш и Ворос в 1987 году показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

Соображения об истинности гипотезы[править | править код]

В обзорных работах (Bombieri, 2000, Conrey, 2003, Sarnak, 2008) отмечается, что данные в пользу истинности гипотезы Римана сильны, но оставляют место для обоснованных сомнений. Отдельные авторы, однако, убеждены в ложности гипотезы (в частности, так считал Джон Литлвуд).

Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можно выделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезы Римана о многообразиях над конечными полями[7]). Это наиболее сильный теоретический довод, позволяющий предположить, что условие Римана выполняется для всех дзета-функций, связанных с автоморфными отображениями (англ.), что включает классическую гипотезу Римана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана[8] для дзета-функции Сельберга (англ.), в некоторых отношениях сходной с функцией Римана, и для дзета-функции Госса (англ.) (аналог дзета-функции Римана для функциональных полей).

С другой стороны, некоторые из дзета-функций Эпштейна (англ.) не удовлетворяют условию Римана, хотя они имеют бесконечное число нулей на критической линии. Однако эти функции не выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автоморфными отображениями.

К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезы относится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулей дзета-функции в рамках проекта ZetaGrid[en]. На 2004 год численными методами было проверено, что более 1013 (более десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют этой гипотезе[9][10].

Связанные проблемы[править | править код]

Две гипотезы Харди-Литтлвуда[править | править код]

В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал[11], что функция имеет бесконечно много вещественных нулей.

Пусть есть количество вещественных нулей, а количество нулей нечётного порядка функции , лежащих на интервале .

Две гипотезы Харди и Литлвуда[12] (о расстоянии между вещественными нулями и о плотности нулей на интервалах при достаточно большом , и как можно меньшем значении , где сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:

  1. Для любого существует , такое что при и интервал содержит нуль нечётного порядка функции .
  2. Для любого существуют такие и , что при и справедливо неравенство .

Гипотеза А. Сельберга[править | править код]

В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого существуют и , такие, что для и справедливо неравенство .

В свою очередь, Атле Сельберг высказал гипотезу[13], что можно уменьшить показатель степени для величины .

В 1984 году А. А. Карацуба доказал[14][15][16], что при фиксированном с условием , достаточно большом и , промежуток содержит не менее вещественных нулей дзета-функции Римана . Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при .

В 1992 году А. А. Карацуба доказал,[17] что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков , , где  — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках , длина которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел , с условием почти все промежутки при содержат не менее нулей функции . Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Возможная связь с квантовой механикой[править | править код]

Диаграмма, указывающая на возможную связь статистики нетривиальных нулей дзета-функции Римана (синие точки — первые 105 нетривиальных нулей) с квантовым хаосом (непрерывная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа ГУА).

Венгерский математик Дьёрдь Пойа, и, предположительно (но не достоверно), Давид Гильберт, сформулировали гипотезу Гильберта — Пойа (англ.), указывающую на возможную связь между нетривиальными нулями дзета-функции Римана и явлениями квантовой механики[18][19]:

Нетривиальные нули дзета-функции Римана (их мнимые части) соответствуют собственным значениям некоторого эрмитового оператора (самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве).

Гильберт и Пойа предположили, что одним из способов вывести гипотезу Римана является нахождение самосопряженного оператора, из существования которого последует утверждение о вещественных частях нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Некоторую поддержку гипотеза Гильберта — Пойа находит в ряде аналогов дзета-функции Римана, нули которых соответствуют собственным значениям некоторого оператора: нули дзета-функции многообразия над конечным полем соответствуют собственным значениям элемента Фробениуса на группе этальных когомологий (англ.), нули дзета-функции Сельберга (англ.) являются собственными значениями оператора Лапласа римановой поверхности, а нули р-адической дзета-функции (англ.) соответствуют собственным векторам действия Галуа на группах классов идеалов.

В 1973 году американский математик Хью Монтгомери (англ.) сформулировал парную корреляционную гипотезу (не доказанную, но подтверждаемую (Одлыжко (англ.), 1987) крупномасштабными численными расчётами), согласно которой корреляционные функции (соответственно нормированных) нулей дзета-функции Римана должны быть такими же, как и у собственных значений случайной эрмитовой матрицы.

Как отмечает кандидат физико-математических наук Трушечкин А. С. со ссылкой на работы Монтгомери, Одлыжко и др., распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана тесно связано с явлением квантового хаоса[18]:

Явление квантового хаоса оказалось тесно связано с распределением нетривиальных нулей дзета-функции Римана (Монтгомери, 1973 г., Одлыжко, 1987 г.). Одним из подходов к известной проблеме о нулях дзета-функции был предложен Гильбертом и Пойа. Согласно их гипотезе (англ.), нетривиальные нули дзета-функции соответствуют собственным значениям некоторого самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве. В 1986 г. Берри предположил, что этот самосопряжённый оператор может являться оператором Гамильтона квантовой системы, которая соответствует классической хаотической системе. Позже Конн, а также Берри и Китинг (англ.) предложили гамильтонианы, у которых первые два ведущих члена в распределении собственных значений в квазиклассическом пределе совпадают с соответствующими членами распределения нетривиальных нулей дзета-функции (даваемыми формулой Римана–Мангольдта).

Предполагается, что статистические свойства дзета-функции Римана совпадают со статистическими свойствами случайных эрмитовых матриц из гауссова унитарного ансамбля (ГУА), описывающих хаотические квантовые системы. Иначе говоря, с помощью квантового хаоса можно воспроизвести статистику нетривиальных нулей дзета-функции Римана. По мнению Трушечкина, изучение квантового хаоса может помочь в доказательстве гипотезы Римана, и наоборот — доказательство гипотезы Римана может помочь в доказательстве проблем, связанных с квантовым хаосом[19].

Факты[править | править код]

  • Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснётся. Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
  • Гипотеза Римана относится к знаменитым открытым проблемам математики, в число которых в своё время входила и теорема Ферма. Как известно, Ферма сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик Г. Х. Харди использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безопасности во время морских путешествий. Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телеграмму: «Доказал гипотезу Римана. Подробности по возвращении». Харди считал, что Бог не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему благополучно вернуться из плавания[20].

Отображение в искусстве[править | править код]

  • В пятой серии первого сезона сериала «Числа» один из героев пытался решить эту задачу, и преступники надеялись с помощью его решения гипотезы Римана вскрывать шифры.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Bombieri, Enrico. The Riemann Hypothesis – official problem description  (англ.). — Clay Mathematics Institute. — 2000.
  2. Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128
  3. Jeffrey C. Lagarias. An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis (англ.) // American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly : journal. — 2002. — Vol. 109, no. 6. — P. 534—543. — DOI:10.2307/2695443.
  4. Andrew Odlyzko, Herman te Riele. Disproof of the Mertens conjecture (неопр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1985. — Т. 357. — С. 138—160. (недоступная ссылка)
  5. Bernhard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (нем.) // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.
  6. Weisstein, Eric W. Lehmer's Phenomenon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. Deligne P. La conjecture de Weil. I (неопр.) // Publications Mathématiques de l'IHÉS. — 1974. — Т. 43. — С. 273—307. — DOI:10.1007/BF02684373.
  8. Sheats J. The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for Fq[T] (англ.) // Journal of Number Theory : journal. — 1998. — Vol. 71, no. 1. — P. 121—157. — DOI:10.1006/jnth.1998.2232.
  9. Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» (англ.)
  10. Стюарт, 2016, с. 245.
  11. Hardy, G.H. Sur les zeros de la fonction  (фр.) // Comp. Rend. Acad. Sci. : magazine. — 1914. — No 158. — P. 1012—1014.
  12. Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1921), "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line", Math. Z. Т. 10 (3–4): 283–317, DOI 10.1007/BF01211614 
  13. Selberg, A. On the zeros of Riemann's zeta-function (неопр.) // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. — 1942. — № 10. — С. 1—59.
  14. Карацуба, А. А. О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой (рус.) // Известия РАН. Серия математическая. : журнал. — 1984. — № 48:3. — С. 569—584.
  15. Карацуба, А. А. Распределение нулей функции ζ(1/2 + it) (рус.) // Известия РАН. Серия математическая.. — 1984. — № 48:6. — С. 1214—1224.
  16. Карацуба, А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой (неопр.) // Труды МИАН. — 1985. — № 167. — С. 167—178.
  17. Карацуба, А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой (рус.) // Известия РАН. Серия математическая. : журнал. — 1992. — № 56:2. — С. 372—397.
  18. 1 2 Трушечкин А. С., Квантовый хаос, периодические орбиты и дзета-функция Римана. // Краткое изложение заявки.
  19. 1 2 Трушечкин А. С., Видеодоклад (2013) по темам: аксиомы квантовой механики, чудо квантовой интерференции, квантовая вероятность, группа Гейзенберга–Вейля, интегралы Фейнмана по путям, квантовая телепортация, квантовый хаос и дзета-функция Римана.
  20. С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.
  • Джон Дербишир. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.