Гипоэллиптический оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипоэллиптический оператордифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу во всех точках пространства, за исключением начала координат.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть — вещественный полином от переменных

где и .

Определим соответствующий дифференциальный оператор:

где

Обобщенная функция называется фундаментальным решением дифференциального оператора , если она является решением уравнения где дельта-функция Дирака. Оператор называется гипоэллиптическим, если принадлежит классу при всех .[1][2]

Свойства[править | править вики-текст]

Следующий критерий гипоэллиптичности часто используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:[1]

Теорема 1. Оператор является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда для любой открытой области всякое решение (обобщенная функция) уравнения

с любой правой частью также принадлежит классу


Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:[1]

Теорема 2. Оператор является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда

для всех где мнимая единица.


Примеры[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. — Москва: Мир, 1986—1988.
  2. 1 2 3 4 Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике. — Москва: Наука, 1979.

Литература[править | править вики-текст]