Гомология (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Гомология (топология)»)
Перейти к: навигация, поиск

Гомоло́гии — одно из основных понятий алгебраической топологии.

Даёт возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо), который является топологическим инвариантом пространства.

Замкнутая линия на поверхности гомологична нулю, если она является границей некоторого её участка. Пример: на сфере любая замкнутая линия гомологична нулю, группа . На торе существуют замкнутые линии, не гомологичные нулю, группа не тривиальна.

Симплициальные гомологии[править | править вики-текст]

Симплициальные гомологии определяются для полиэдров путём построения симплициального комплекса.

Сингулярные гомологии[править | править вики-текст]

Симплициальные гомологии были даны только для полиэдров, причём доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

Сингулярные гомологии вводятся так, что их инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.

Пусть  — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности  — это пара где  — это стандартный симплекс , а  — его непрерывное отображение в ; .

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами .

При этом для линейного отображения определяемого перестановкой точек полагают .

Граничный оператор определяется на сингулярном симплексе так:

,

где стандартный -мерный симплекс, а , где  — это его отображение на -ю грань стандартного симплекса .

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что .

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей , что , и границ — цепей для некоторого .

Факторгруппа группы циклов по группе границ называется группой сингулярных гомологий.

Пример[править | править вики-текст]

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки .

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение .

Граница симплекса , где все равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим ).

Значит:

, если нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);
, если и четно;
, если .

Отсюда получаем для нулевой размерности: .

Для нечётной размерности .

Для чётной размерности .

То есть группа гомологий равна для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

История[править | править вики-текст]

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.

Гомологии с коэффициентами в произвольных группах[править | править вики-текст]

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы . То есть, вместо групп рассматривать группы .

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства с коэффициентами в группе обозначаются . Обычно применяют группу действительных чисел , рациональных чисел , или циклическую группу вычетов по модулю  — , причём обычно берётся  — простое число, тогда является полем.

Другое описание. Применяя к комплексу

функтор , мы получим комплекс

,

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в .

Когомологии[править | править вики-текст]

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу . То есть, пространство коцепей .

Граничный оператор определяется по формуле: (где ). Для такого граничного оператора также выполняется

, а именно
.

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов , кограниц и когомологий .

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если  — кольцо, то в группе когомологий определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или -npоизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.

В случае, когда  — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на (см. Теорема де Рама).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность[править | править вики-текст]

Возьмём случай двух топологических пространств . Группа цепей (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе ). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы . Так как граничный оператор на группе гомологий подпространства переводит , то можно определить на факторгруппе граничный оператор (мы его обозначим так же) .

Те относительные цепи, которые он переводит в будут называться относительными циклами , а цепи, которые являются его значениями — относительными границами . Так как на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда . Факторгруппа называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в является также и относительным то имеем гомоморфизм По функториальному свойству вложение приводит к гомоморфизму .

В свою очередь можно построить гомоморфизм , который мы определим следующим образом. Пусть  — относительная цепь, которая определяет цикл из . Рассмотрим её как абсолютную цепь в (с точностью до элементов ). Так как это относительный цикл, то будет равен нулю с точностью до некоторой цепи . Положим равным классу гомологий цепи .

Если мы возьмём другую абсолютную цепь , определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь , где . Имеем , но так как является границей в то и определяют один и тот же элемент в группе гомологий . Если взять другой относительный цикл , дающий тот же элемент в группе относительных гомологий , где  — относительная граница, то в силу того, что граница для относительных гомологий , где , отсюда , но , а  — граница в .

Поэтому класс гомологий определен однозначно. Ясно по линейности оператора , что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

;
и
;

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Аксиомы Стинрода — Эйленберга[править | править вики-текст]

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

  1. Если то и .
  2. Если , то и , где  — замкнутый интервал [0,1].
  3. , где  — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа и непрерывному отображению пар соответствует гомоморфизм (Пространство отождествляется с парой ), а с ), причём выполняются следующие аксиомы:

  1. Тождественному отображению пары соответствует тождественный гомоморфизм .
  2. (функториальность)
  3. Определен граничный гомоморфизм , причём если , то для соответствующего гомоморфизма верно для любой размерности .
  4. Пусть и  — вложения, и  — соответствующие гомоморфизмы,  — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность

    точна (аксиома точности).
  5. Если отображения гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны для любой размерности (аксиома гомотопической инвариантности).
  6. Пусть  — открытое подмножество , причём его замыкание содержится во внутренности множества , тогда если пары и принадлежат допустимому классу, то для любой размерности вложению соответствует изоморфизм (аксиома вырезания).
  7. Для одноточечного пространства для всех размерностей . Абелева группа называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе их отображения и граничный гомоморфизм удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению соответствует (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм увеличивает размерность.

Экстраординарные гомологии[править | править вики-текст]

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей , называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989