Гомоморфизм групп

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гомоморфизм группы (h) из G (слева) в H (справа). Меньший овал внутри H — образ h. N является ядром h, а aN является смежным классом N.

В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : GH, такая, что для всех u и v из G выполняется

где групповая операция слева от знака равно относится к группе G, а операция справа относится к группе H.

Отсюда можно вывести, что h отображает нейтральный элемент eG группы G в нейтральный элемент eH группы H, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что

Таким образом, можно сказать, что h "сохраняет групповую структуру".

В более ранних работах h(x) могло обозначаться как xh, хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что h(x) превращается просто в x h. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется автоматизация, поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.

В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, гомоморфизм иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным.

Понятие[править | править код]

Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : GH является гомоморфизмом группы, если из ab = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.

Образ и ядро[править | править код]

Определим ядро h как множество элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент в H

и образ h как

Ядро h является нормальной подгруппой G, а образ h является подгруппой H:

Гомоморфизм h является инъективным (и называется мономорфизмом группы) в том и только в том случае, когда ker(h) = {eG}.

Ядро и образ гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h(G) изоморфен фактор-группе G/ker h.

Примеры[править | править код]

  • Возьмём циклическую группу Z/3Z = {0, 1, 2} и группу целых чисел Z по сложению. Отображение h : ZZ/3Z с h(u) = u mod 3 является гомоморфизмом. Оно сюръективно и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.
  • Возьмём группу
Для любого комплексного числа u функция fu : GC, определённая как:
является гомоморфизмом.
  • Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения (R+, ⋅) . Для любого комплексного числа u функция fu : R+C, определённая как
является гомоморфизмом.
  • Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы комплексных чисел C по сложению в группу ненулевых комплексных чисел C* по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество {2πki : kZ}, как можно видеть из формулы Эйлера. Поля, подобные R и C, имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют экспоненциальными полями[en].

Категории групп[править | править код]

Если h : GH и k : HK являются гомоморфизмами групп, то и k o h : GK тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют категорию.

Виды гомоморфных отображений[править | править код]

Если гомоморфизм h является биекцией, то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда h называется изоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.

Если h: GG является гомоморфизмом групп, мы называем его эндоморфизмом G. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G. Эта группа обозначается как Aut(G). Как пример, автоморфизм группы (Z, +) содержит только два элемента, тождественное преобразование и умножение на −1, и он изоморфен Z/2Z.

Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм на. Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм один-к-одному.

Гомоморфизмы абелевых групп[править | править код]

Если G и Hабелевы (т.е. коммутативные) группы, то множество Hom(G, H) всех гомоморфизмов из G в H само по себе является абелевой группой — сумма h + k двух гомоморфизмов определяется как

(h + k)(u) = h(u) + k(u) для всех u из G.

Коммутативность H нужна для доказательства, что h + k является снова гомоморфизмом групп.

Также гомоморфизмы совместимы с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если f принадлежит Hom(K, G), h, k являются элементами Hom(G, H), и g принадлежит Hom(H,L), то

(h + k) o f = (h o f) + (k o f)   и    g o (h + k) = (g o h) + (g o k).

Это показывает, что множество End(G) всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо, кольцо эндоморфизмов[en] группы G. Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы, состоящее из прямой суммы[en] m копий Z/nZ, изоморфно кольцу m-на-m матриц с элементами из Z/nZ. Упомянутая выше совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с гомоморфизмами образует предаддитивную категорию. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером абелевой категории.

Смотрите также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  • D. S. Dummit, R. Foote. Abstract Algebra. — 3. — Wiley, 2004. — С. 71-72. — ISBN 9780471433347.
  • Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968.