Гомотетия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Geom podobnost stejnolehlest.svg

Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός — «одинаковый» и θετος — «расположенный») — один из видов преобразований подобия.

Гомотетией c центром O и коэффициентом k () называют преобразование плоскости (или пространства), переводящее точку в точку , обладающую тем свойством, что . Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через .

Замечание[править | править вики-текст]

Русским эквивалентом слова «Гомотетия» (синонимом) является слово «Подобие». Поэтому вместо слов центр гомотетии O и коэффициент гомотетии k можно говорить соответственно центр подобия O и коэффициент подобия k.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
  • Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией.
  • Как и любое преобразование подобия, гомотетия преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
  • Как и любое преобразование подобия, гомотетия сохраняет величины углов между кривыми.
  • Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как A’B'/AB=B’C'/BC=, то их площади будут относиться как .

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берется композиция, несущественен, так как . Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как .

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]