Гомотопические группы сфер

Расслоение Хопфа — пример отображения из трёхмерной сферы в двумерную, не стягиваемого в точку. Такое отображение является образующей гомотопической группы $\pi _{3}(S^{2})\simeq \mathbb {Z}$

Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий, области алгебраической топологии. Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Гомотопические группы сфер являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами. Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, точная структура гомотопических групп сфер до конца неизвестна.

Их нахождение было одним из наиболее важных направлений развития топологии и математики в целом в 1950—60-х годах, вплоть до создания обобщённых теорий когомологий. Причиной этого было как то, что гомотопические группы сфер являются базовыми топологическими инвариантами, понимание которых приводит к лучшему пониманию топологических пространств в целом, так и наличие большого числа сложных закономерностей в их структуре. Результатом стало как нахождение некоторых общих закономерностей, таких как стабильные гомотопические группы сфер и J-гомоморфизм, так и вычисление групп для малых значений параметров.

Неформальное введение

Многомерная сфера $S^{n}$ размерности $n$ — это топологическое пространство, которое можно представлять как геометрическое место точек $(n+1)$-мерного евклидова пространства, удалённых от начала координат на расстояние 1. В частности, $S^{1}$ — это окружность, а $S^{2}$ — обычная двумерная сфера.

Если $X$ — любое топологическое пространство с отмеченной точкой $x$, то его $i$-тая гомотопическая группа $\pi _{i}(X)$ — это множество отображений из $S^{i}$ в $X$, переводящих $1$ в $x$, рассмотренное с точностью до гомотопий, то есть непрерывных шевелений, которые к тому же должны сохранять отмеченную точку. В частности, $\pi _{1}(X)$ — это фундаментальная группа, то есть группа замкнутых путей в топологическом пространстве с операцией композиции. В многомерном случае это множество также можно снабдить структурой группы, при этом, в отличие от фундаментальной группы, при $i\geqslant 2$ группа $\pi _{i}(X)$ будет коммутативной.

Любое отображение из сферы меньшей размерности в сферу большой размерности можно стянуть в точку, поэтому группы $\pi _{i}(S^{n})=0$ при $i<n$. Однако уже фундаментальная группа окружности $\pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z}$ является бесконечной циклической группой. Её элементы, то есть отображения из окружности $S^{1}$ в себя с точностью до гомотопии, однозначно задаются числом оборотов образа окружности вокруг её центра, и при композиции путей числа оборотов складываются. Аналогично одномерному случаю, гомотопическая группа отображений из $n$-мерной сферы в себя $\pi _{n}(S^{n})\simeq \mathbb {Z}$ является бесконечной цикличной. Тем не менее, устройство группы $\pi _{3}(S^{2})$ интуитивно неочевидно: она порождена расслоением Хопфа.

Малые значения

	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12	π13	π14	π15	π16
S1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	0	Z	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6
S3	0	0	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6
S4	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z×Z12	Z22	Z22	Z24×Z3	Z15	Z2	Z23	Z120×Z12×Z2	Z84×Z25	Z26
S5	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	Z2	Z2	Z2	Z30	Z2	Z23	Z72×Z2	Z504xZ22
S6	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	Z	Z2	Z60	Z24×Z2	Z23	Z72xZ2
S7	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z120	Z23	Z24
S8	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z×Z120	Z24

Литература

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.
• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-79540-1.