Граница Синглтона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Граница Синглтона (названная в честь Р. К. Синглтона) устанавливает предел мощности кода с символами из поля длины и минимального расстояния Хэмминга .

Пусть обозначает максимально возможную мощность -ичного кода длины (-ичный код — это код над полем из элементов). Пусть минимальное расстояние Хэмминга между двумя словами кода будет , то есть для любых двух кодовых слов и .

Тогда

Доказательство[править | править вики-текст]

В первую очередь заметим, что верхняя граница максимальной мощности любого -ичного кода длины равняется , так как каждый компонент данного кодового слова может принимать одно из разных значений независимо от других компонентов.

Пусть является -ичным кодом. Тогда все слова в кодe отличны друг от друга. Если мы сотрём первые символов каждого слова, тогда все оставшиеся кодовые слова должны оставаться разными, так как расстояние Хэмминга между словами кода по меньшей мере . Следовательно мощность кода после удаления символов осталась прежней.

Длина нового слова

и следовательно максимально возможной мощностью такого кода является

Отсюда следует верхняя граница мощности и для изначального кода:

Линейные коды[править | править вики-текст]

В случае с линейными кодами можно записать границу Синглтона как

или

Линейные коды, для которых выполняется равенство , называются разделимыми кодами с максимальным расстоянием или кодами МДР. Известными представителями этого семейства кодов являются код Рида — Соломона и коды, образуемые из него.

Литература[править | править вики-текст]

  • R. C. Singleton. Maximum distance q-nary codes. IEEE Transactions on Information Theory, 10:116-118 [1, 11], 1964.
  • Y. Komamiya. Application of logical mathematics to information theory. Proceedings of the 3rd Japanese National Congress for Applied Mathematics, 437 [1], 1953.

См. также[править | править вики-текст]