Граница (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Грани́ца мно́жества Aмножество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Пусть Точка называется грани́чной то́чкой мно́жества , если для любой её окрестности справедливо:

Множество всех граничных точек множества называется границей множества или границей множества в и обозначается или если необходимо подчеркнуть, что рассматриавется как подмножество объемлющего пространства .

Свойства[править | править вики-текст]

  • замкнутое множество;
  • открытое множество тогда и только тогда, когда
  • — замкнутое множество тогда и только тогда, когда
  • — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда
  • , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

Примеры[править | править вики-текст]

Рассмотрим числовую прямую со стандартной топологией. Тогда: для :

  • Для :

См. также[править | править вики-текст]