Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Пусть дано топологическое пространство
, где
— произвольное множество, а
— определённая на
топология. Пусть рассматривается множество
Тогда точка
называется грани́чной то́чкой мно́жества
, только если для любой её окрестности
целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:
и одновременно с этим 
Множество всех граничных точек множества
называется границей множества
(в
) и обозначается
или
если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства
.


— замкнутое множество;
— открытое множество тогда и только тогда, когда 
— замкнутое множество тогда и только тогда, когда 
— открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда 
, причем равенство
достигается тогда и только тогда, когда 

Рассмотрим числовую прямую
со стандартной топологией. Тогда: для
:
- Для
: ![{\displaystyle \partial _{\mathbb {R} }(a,b)=\partial _{\mathbb {R} }(a,b]=\partial _{\mathbb {R} }[a,b)=\partial _{\mathbb {R} }[a,b]=\{a,b\};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cf35e02e0cf480333b67df0d97149d4143b582)


При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.
Например, дана стандартная топология на
Тогда граница открытого круга
относительно этой топологии равна окружности
потому что окрестность, с помощью понятия которой и определяется граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом
так и с его дополнением
граничная точка должна быть на окружности
Если же рассмотреть стандартную топологию на
то границей открытого круга
будет замкнутый круг
поскольку внутри
окрестность является уже 3-мерной фигурой (допустим, шаром), а дополнением круга
относительно
уже является
. Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга
уже будет попадать не только любая точка окружности
но и любая точка исходного множества