Граф Хэмминга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Граф Хэмминга
Hamming33UnitDistance.gif
Назван в честь Ричарда Хэмминга
Вершин
Рёбер
Диаметр
Спектр
Свойства -регулярный
вершинно транзитивный
дистанционно регулярный [1]

Графы Хэмминга — это специальный класс графов, названных именем Ричарда Хэмминга и используемых в некоторых областях математики и информатики.

Определение[править | править код]

Пусть S — множество из q элементов, а d — положительное число. Граф Хэмминга H(d,q) имеет множество вершин Sd, множество упорядоченных d-кортежей элементов множества S (последовательности длины d элементов из S). Две вершины смежны, если они отличаются ровно одной координатой, то есть если расстояние Хэмминга равно единице. Граф Хэмминга H(d,q) равен прямому произведению d полных графов Kq [1].

В некоторых случаях графы Хэмминга могут определяться как прямое произведение полных графов, которые могут иметь различные размеры[2]. В отличие от графов H(d,q), эти графы более широкого класса не будут обязательно дистанционно регулярными, но остаются регулярными и вершинно транзитивными.

Специальные случаи[править | править код]

Приложения[править | править код]

Графы Хэмминга интересны их связью с кодами с исправлением ошибок[6] и схемами отношений[7]. Они также приняты в качестве сетевой топологии в распределённых вычислениях[4].

Вычислительная сложность[править | править код]

Можно проверить, является ли граф графом Хэмминга, и если является, найти разметку вершин кортежами, которая реализует граф Хэмминга, за линейное время[2].

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 Brouwer, Haemers, 2012, с. 178.
  2. 1 2 Imrich, Klavžar, 2000, с. 104–106.
  3. Blokhuis, Brouwer, Haemers 2007. См. примечание на стр. 300.
  4. 1 2 Dekker, Colbert, 2004, с. 359–368.
  5. Bailey, Cameron, 2011, с. 209–242.
  6. Sloane, 1989, с. 11–20.
  7. Koolen, Lee, Martin 2010 На стр. 224 авторы пишут, что «тщательное изучение полных регулярных кодов в графах Хэмминга является центральным моментом при изучении ассоциативных схем».

Литература[править | править код]

  • Andries E. Brouwer, Willem H. Haemers. Spectra of graphs. — New York: Springer, 2012. — С. 178. — (Universitext). — ISBN 978-1-4614-1938-9. — doi:10.1007/978-1-4614-1939-6.
  • Wilfried Imrich, Sandi Klavžar. Product graphs. — Wiley-Interscience, New York, 2000. — С. 104—106. — (Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization). — ISBN 0-471-37039-8.
  • Aart Blokhuis, Andries E. Brouwer, Willem H. Haemers. On 3-chromatic distance-regular graphs // Designs, Codes and Cryptography. — 2007. — Т. 44, вып. 1—3. — С. 293—305. — doi:10.1007/s10623-007-9100-7.
  • Anthony H. Dekker, Bernard D. Colbert. Proceedings of the 27th Australasian conference on Computer science - Volume 26. — Darlinghurst, Australia, Australia: Australian Computer Society, Inc., 2004. — С. 359—368. — (ACSC '04).
  • Robert F. Bailey, Peter J. Cameron. Base size, metric dimension and other invariants of groups and graphs // Bulletin of the London Mathematical Society. — 2011. — Т. 43, вып. 2. — С. 209—242. — doi:10.1112/blms/bdq096.
  • N. J. A. Sloane. Unsolved problems in graph theory arising from the study of codes // Graph Theory Notes of New York. — 1989. — Т. 18. — С. 11—20.
  • Jacobus H. Koolen, Woo Sun Lee, William J. Martin. Combinatorics and graphs. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010. — Т. 531. — С. 223—242. — (Contemp. Math.). — doi:10.1090/conm/531/10470.

Ссылки[править | править код]