Группа Гротендика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть — коммутативный моноид, т.е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в назовём сложением. Группа Гротендика моноида (обозначается обычно или ) — это абелева группа, которая является (в определенном смысле) расширением моноида до группы, т.е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Универсальное свойство[править | править вики-текст]

В наиболее простых терминах, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ превратить этот моноид в абелеву группу. Пусть М — коммутативный моноид, его группа Гротендика N должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

в абелеву группу А существует единственный гомоморфизм абелевых групп

такой, что

В терминах теории категорий, функтор, посылащий коммутативный моноид в его группу Гротендика , является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Явное определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим декартово произведение , элементами которого являются пары , где . По определению, пары соответствуют разностям , сложение которых задается формулой

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида ).

Для того, чтобы определить группу Гротендика , нужно ввести на множестве отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы и , для которых выполнено равенство

с некоторым элементом . Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента включает в себя элементы при всех . Этот класс называется формальной разностью элементов и и обозначается .

Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика моноида .

Нейтральный (нулевой) элемент группы — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида при всевозможных . Элемент, противоположный к элементу , имеет вид (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение , которое позволяет считать расширением . Именно, каждому элементу ставится в соответствие формальная разность , т.е. класс элементов при всевозможных .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел n-m с отношением эквивалентности
.
Теперь определим
,
для всех . Эта конструкция определяет целые числа .

Ссылки[править | править вики-текст]