Группа Коксетера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Группа Коксетера — группа порождённая отражениями в гранях n-мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от \pi (то есть равен \pi/k для некоторого целого k). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера.

Группы Коксетера определяются для многогранников в Евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Многогранники Коксетера в Евклидовом пространстве размерности n:
    • n-мерный куб произвольной размерности.
    • n-мерный симплекс образованный точками с координатами (x_1,x_2,\dots,x_n) такими, что 0\le x_1\le x_2\le\dots\le x_n\le 1.
  • Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности n:
    • правильный n-мерный симплекс со стороной \pi/2.
  • Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
    • Правильный k-многоугольник с углом \pi/m.
    • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности 3.
    • Правильный прямоугольный 120-ячейник в размерности 4.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • Теорема Винберга.[1] В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
  • Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
  • Многогранники Коксетера являются простыми.
  • Обозначим через \{r_1,r_2,\ldots,r_n\} отражения в гранях многогранника и пусть \pi/m_{ij} есть двугранный угол между гранями i и j, положим m_{ij}=\infty если грани не образуют двугранного угла в многограннике m_{ii}=1. Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:
    \left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • Группами Коксетера так же называюся обобщение класса групп описанного выше, определяемое с помощью задания:
    \left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle
где m_{ii}=1 и m_{ij}\geq 2 при i\neq j.

Литература[править | править исходный текст]

  1. Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений УМН, 40:1(241) (1985), 29–66