Группа Коксетера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Группа Коксетерагруппа, порождённая отражениями в гранях -мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от (то есть равен для некоторого целого ). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера.

Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Многогранники Коксетера в Евклидовом пространстве размерности :
    • -мерный куб произвольной размерности.
    • -мерный симплекс, образованный точками с координатами такими, что .
  • Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности :
    • правильный -мерный симплекс со стороной .
  • Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
    • Правильный -многоугольник с углом .
    • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности .
    • Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • Теорема Винберга.[1] В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
  • Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
  • Многогранники Коксетера являются простыми.
  • Обозначим через отражения в гранях многогранника, и пусть есть двугранный угол между гранями и . Положим , если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и . Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания:
    ,
где и при .

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений УМН, 40:1(241) (1985), 29–66
  • H.S.M. Coxeter Discrete groups generated by reflections // Ann. Of Math.. — 1934. — Vol. 35. — P. 588–621. — DOI:10.2307/1968753. JSTOR 1968753