Группа Лоренца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Гру́ппа Ло́ренца является группой преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)[1]. В математике обозначается O(1,\;3).

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени: x_{\nu}^{'} =\sum_{\mu} L_{\nu \mu} x_{\mu} , x_{0}=ct, x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=z   которые оставляют инвариатной квадратичную форму, которая является математическим выражением четырёхмерного интервала, s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2} и не меняют направления времени. Группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях xy, yz, zx, лоренцевы преобразования xt, yt, zt, отражения пространственных осей x, y, z x \to -x, y \to -y, z \to -z и все их произведения. [2]

Специальная группа Лоренца SO(1,\;3) — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен \pm 1).

Ортохронная группа Лоренца O_\uparrow(1,\;3), специальная ортохронная группа Лоренца SO_\uparrow(1,\;3) — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты x^0). Группа SO_\uparrow(1,\;3), единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Представления группы Лоренца[править | править вики-текст]

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат U_{\alpha}(x). При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой, компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: u_{\beta}^{'} =\sum_{\alpha} \Lambda_{\beta \alpha} u_{\alpha}(x) . При этом матрица \Lambda имеет ранг \nu, равный числу компонент величины u_{\alpha}. Каждому элементу группы Лоренца P соответствует линейное преобразование \Lambda(P), единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование \Lambda = 1, а произведению двух элементов группы Лоренца P_{1} и P_{2} соответствует произведение двух преобразований \Lambda(P_{1}P_{2}) = \Lambda(P_{1})\Lambda(P_{2}). Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца. [3] Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца SO_\uparrow(1,\;3) можно построить при помощи спиноров.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Полупрямое произведение группы Лоренца и группы параллельных переносов пространства Минковского по историческим причинам называется группой Пуанкаре. С другой стороны, группа Лоренца содержит в качестве своей подгруппы подгруппу группу вращений 3-мерного пространства.
  2. Ширков, 1980, с. 146
  3. Ширков, 1980, с. 147

Литература[править | править вики-текст]

  • Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я.  Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 367 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
  • Любарский Г. Я.  Теория групп и её применение в физике. — М.: Физматгиз, 1958. — 355 с.
  • Наймарк М. А.  Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 376 с.
  • Фёдоров Ф. И.  Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.  (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
  • Artin, Emil. Geometric Algebra. — New York: Wiley, 1957. — ISBN 0-471-60839-4.. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
  • Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. — McGraw-Hill, New York, 1977. — ISBN 0-07-009986-3.. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
  • Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — ISBN 0-521-53927-7.. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
  • Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course. — New York: Springer-Verlag, 1991. — ISBN 0-387-97495-4.. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
  • Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. — Singapore: World Scientific, 2004. — ISBN 981-02-1051-5.. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
  • Hatcher, Allen. Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79540-0.. See also the online version. Проверено 3 июля 2005. Архивировано из первоисточника 20 февраля 2012. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
  • Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime. — New York: Springer-Verlag, 1992. — ISBN 0-486-43235-1 (Dover reprint edition).. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
  • Needham, Tristam. Visual Complex Analysis. — Oxford: Oxford University Press, 1997. — ISBN 0-19-853446-9.. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
  • Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.


См. также[править | править вики-текст]