Группа Матьё

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Группы Матьё — это пять спорадических простых групп, M11[en], M12[en], M22[en], M23[en] и M24[en], введённые Эмилем Леонардом Матьё[1][2]. Группы являются кратно транзитивными группами перестановок 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Это были первые открытые спорадические группы.

Иногда используются обозначения M9, M10, M20 и M21 для связанных групп (которые действуют на множествах с 9, 10, 20 и 21 точками, соответственно), а именно стабилизаторы точек в бо́льших группах. Хотя они не являются спорадическими простыми группами, они являются подгруппами бо́льших групп и могут быть использованы для их построения. Джон Конвейн показал, что можно продолжить эту последовательность, получая группоид Матьё[en] M13, действующий на 13 точек. M21 является простой, но не спорадической группой, будучи изоморфной PSL(3,4).

История[править | править код]

Матьё[3] ввёл группу M12 как часть исследования кратно транзитивных групп перестановок и коротко упомянул (на стр. 274) группу M24, указав её порядок. В статье 1873 года[2] он привёл дополнительные детали, включая явные порождающие множества для этих групп, но группу нелегко увидеть из его аргументов, что сгенерированные группы не просто знакопеременные группы и несколько лет существование групп было под сомнением. Миллер[4] даже опубликовал статью с ошибочным доказательством, что M24 не существует, хотя вскоре после этого в статье 1900 года[5] он признал, что доказательство имело ошибки, и дал доказательство, что группы Матьё просты. Витт[6][7], наконец, прекратил сомнения о существовании этих групп путём построения их как последовательные транзитивные расширения групп перестановок, а также как группы автоморфизмов систем Штейнера.

После групп Матьё не было обнаружено новых спорадических групп до 1965, когда была открыта группа J1[en].

Кратно транзитивные группы[править | править код]

Матьё был заинтересован в нахождении кратно транзитивных групп перестановок. Для натурального числа k, группа перестановок G, действующая на n точек, является k-транзитивной, если при задании двух множеств точек a1, … ak и b1, … bk со свойством, что все ai различны и все bi различны, существует элемент g группы G, который отображает ai в bi для всех i от 1 до k. Такая группа называется остро k-транзитивной, если элемент g единственен (то есть действие на k-кортежи регулярно (строго транзитивно), а не просто транзитивно).

Группа M24 5-транзитивна, а группа M12 — остро 5-транзитивна. Другие группы Матьё (простые и не простые), будучи подгруппами, соответствующими стабилизаторам m точек, имеют более низкую транзитивность (M23 4-транзитивна, и т. д.).

Единственными 4-транзитивными группами являются симметрические группы Sk для k не меньшего 4, знакопеременные группы Ak для k, равного 6 и выше, и группы Матьё M24[en], M23[en], M12[en] и M11[en][8].

Классическим результатом является результат Жордана, что только симметрическая и знакопеременные группы (степеней k и k + 2 соответственно), а также M12 и M11 являются остро k-транзитивными группами перестановок для k не меньшего 4.

Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы[en] и группы Цассенхауса[en]. Группы Цассенхауса, в частности, включают проективную общую линейную группу проективной прямой над конечным полем, PGL(2,Fq), которая является остро 3-транзитивной (см. Двойное отношение) на элементах.

Таблица порядков и транзитивности[править | править код]

Группа Порядок Порядок (произведение) Разложение порядка Транзитивность Простая Спорадическая
M24 244823040 3•16•20•21•22•23•24 210•33•5•7•11•23 5-транзитивная да спорадическая
M23 10200960 3•16•20•21•22•23 27•32•5•7•11•23 4-транзитивная да спорадическая
M22 443520 3•16•20•21•22 27•32•5•7•11 3-транзитивная да спорадическая
M21 20160 3•16•20•21 26•32•5•7 2-транзитивная да PSL3(4)
M20 960 3•16•20 26•3•5 1-транзитивная нет
M12 95040 8•9•10•11•12 26•33•5•11 остро 5-транзитивная да спорадическая
M11 7920 8•9•10•11 24•32•5•11 остро 4-транзитивная да спорадическая
M10 720 8•9•10 24•32•5 sостро 3-транзитивная почти M10' ≈ Alt6
M9 72 8•9 23•32 остро 2-транзитивная нет PSU3(2)[en]
M8 8 8 23 остро 1-транзитивная (регулярна) нет Q

Построение групп Матьё[править | править код]

Группы Матьё можно построить разными способами.

Группы перестановок[править | править код]

M12 имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL2(F11) над полем из 11 элементов. Если −1 обозначить как a, а бесконечность как b, двумя стандартными генераторами являются перестановки (0123456789a) и (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третий генератор, дающий M12, переводит элемент x группы F11 в , как при перестановке (26a7)(3945).

Эта группа оказывается не изоморфной любому члену бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M11 является стабилизатором точки в M12 и тоже оказывается спорадической простой группой. M10, стабилизатор двух точек, не является спорадическим, но является почти простой группой, коммутант которой является знакопеременной группой A6. Он связан с исключительным внешним автоморфизмом[en] группы A6. Стабилизатор 3 точек является проективной специальной унитарной группой[en] PSU(3,22), которая является разрешимой. Стабилизатор 4 точек является группой кватернионов.

Подобным же образом, M24 имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL2(F23). Один генератор добавляет 1 каждому элементы поля (оставляя точку N на бесконечности неподвижной), то есть перестановка (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N), а другой является обращающей порядок перестановкой, (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третий генератор, дающий M24, переводит элемент x группы F23 в . Вычисления показывают, что это перестановка (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Стабилизаторы 1 и 2 точек, M23 и M22 также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор 3 точек является простой группой и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL3(4).

Эти построения были процитированы Кармайклом[9]. Диксон и Мортимер[10] приписывают перестановки Эмилю Матьё.

Автоморфизмы групп систем Штейнера[править | править код]

Существует с точностью до[en] эквивалентности единственная S(5,8,24) система Штейнера W24 (схема Витта). Группа M24 является группой автоморфизмов этой системы Штейнера, то есть множество перестановок, которые отображают каждый блок в некоторый другой блок. Подгруппы M23 и M22 определяются как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.

Подобным образом, существует с точностью до эквивалентности единственная S(5,6,12) система Штейнера W12, а группа M12 является её группой автоморфизмов. Подгруппа M11 является стабилизатором точки.

W12 можно построить из аффинной геометрии на векторном пространстве F3×F3, системы S(2,3,9).

Альтернативное построение W12 — «котёнок» Кёртиса[11].

Введение в построение W24 с помощью чудесного генератора октад[en] Р. Т. Кёртиса и аналога для W12 (miniMOG) Конвея можно найти в книге Конвея и Слоуна.

Автоморфизмы групп на коде Голея[править | править код]

Группа M24 является группой автоморфизмов перестановок[en] расширенного двоичного кода Голея W, то есть группы перестановок 24 координат, отображающих W в себя. Все группы Матьё можно построить как группы перестановок бинарных кодов Голея.

M12 имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, а M12:2 оказывается изоморфной подгруппе группы M24. M12 является стабилизатором кода из 12 единиц. M12:2 стабилизирует раздел в двух комплементарных кодах из 12 бит.

Существует естественная связь между группами Матьё и бо́льшими группами Конвея[en], поскольку решётка Лича была построена на бинарном коде Голея и обе группы, фактически, лежат в пространстве размерности 24. Группы Конвея обнаруживаются в Монстре. Роберт Грис[en] ссылается на 20 спорадических групп, найденных в Монстре, как Счастливое семейство, а на группы Матью как первое поколение.

Dessins d’enfants[править | править код]

Группы Матьё можно построить с помощью dessins d'enfants[en] (фр: детский рисунок)[12], а рисунок, ассоциированный с M12, ле Брюн назвал «Monsieur Mathieu» (Месье Матьё)[13].

Примечания[править | править код]

  1. Mathieu, 1861.
  2. 1 2 Mathieu, 1873.
  3. Mathieu, 1861, с. 271.
  4. Miller, 1898.
  5. Miller, 1900.
  6. Witt, 1938a.
  7. Witt, 1938b.
  8. Cameron, 1999, с. 110.
  9. Carmichael, 1956, с. 151, 164, 263.
  10. Dixon, Mortimer, 1996, с. 209.
  11. Curtis, 1984.
  12. Буквально — детский рисунок (фр.). Термин предложил Гротендик для одного из видов вложения графов.
  13. le Bruyn, 2007.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  • Scientific American A set of puzzles based on the mathematics of the Mathieu groups
  • Sporadic M12 An iPhone app that implements puzzles based on M12, presented as one «spin» permutation and a selectable «swap» permutation