Группа Тейта — Шафаревича

Группа Тейта — Шафаревича — математическое понятие, используемое в диофантовой, алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Независимо введено в совместной работе С. Ленга, Дж. Тейта ("Principal homogeneous spaces over abelian varieties", American Journal of Mathematics, 1958) и И. Р. Шафаревича ("Группы главных однородных алгебраических многообразий", Доклады АН СССР, 1959).

Группа Тейта — Шафаревича Ш(A/K) — это абелево многообразие A над числовым полем K, состоящее из тех элементов группы Вейля — Шатле WC(A/K) = H¹(G_K, A), которые являются тривиальными во всех расширениях поля K (то есть p-адических расширениях K, а также его вещественных и комплексных расширений). В терминах когомологий Галуа, это можно представить в виде

$\bigcap _{v}\mathrm {ker} (H^{1}(G_{K},A)\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})).$

Обозначение Ш(A/K) введено Джоном Касселсом, кириллическая буква "Ш" используется в честь И. Р. Шафаревича.

Ссылки

• Cassels, John William Scott (1962), "Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 12: 259—296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN 0024-6115, MR 0163913
• Cassels, John William Scott (1962b), "Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 211 (211): 95—112, doi:10.1515/crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, MR 0163915 Архивная копия от 17 мая 2018 на Wayback Machine
• Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, vol. 24, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, MR 1144763 Архивная копия от 24 июня 2021 на Wayback Machine
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 201, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
• Greenberg, Ralph (1994), "Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives", in Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L. (eds.), Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0
• Lang, Serge; Tate, John (1958), "Principal homogeneous spaces over abelian varieties", American Journal of Mathematics, 80 (3): 659—684, doi:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372778, MR 0106226
• Lind, Carl-Erik (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Thesis). Vol. 1940. University of Uppsala. 97 pp. MR 0022563. Архивировано из оригинала 24 июня 2021. Дата обращения: 12 июля 2019. {{cite thesis}}: Неизвестный параметр |nopp= игнорируется (|no-pp= предлагается) (справка)
• Poonen, Bjorn; Stoll, Michael (1999), "The Cassels-Tate pairing on polarized abelian varieties", Annals of Mathematics, Second Series, 150 (3): 1109—1149, arXiv:math/9911267, doi:10.2307/121064, ISSN 0003-486X, JSTOR 121064, MR 1740984
• Rubin, Karl (1987), "Tate-Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication", Inventiones Mathematicae, 89 (3): 527—559, Bibcode:1987InMat..89..527R, doi:10.1007/BF01388984, ISSN 0020-9910, MR 0903383
• Selmer, Ernst S. (1951), "The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0", Acta Mathematica, 85: 203—362, doi:10.1007/BF02395746, ISSN 0001-5962, MR 0041871
• Шафаревич, И. Р. (1959), "Группы главных однородных алгебраических многообразий", Докл. АН СССР, 124: 42—43, ISSN 0002-3264, MR 0106227
• Stein, William A. (2004), "Shafarevich-Tate groups of nonsquare order" (PDF), Modular curves and abelian varieties, Progr. Math., vol. 224, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 277—289, MR 2058655 Архивная копия от 10 августа 2017 на Wayback Machine
• Swinnerton-Dyer, P. (1967), "The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, and of Tate", in Springer, Tonny A. (ed.), Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966), Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 132—157, MR 0230727
• Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, vol. 13, Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0105420 Архивная копия от 27 июня 2020 на Wayback Machine
• Tate, John (1963), "Duality theorems in Galois cohomology over number fields", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 288—295, MR 0175892, Архивировано из оригинала 17 июля 2011 Архивная копия от 17 июля 2011 на Wayback Machine
• Weil, André (1955), "On algebraic groups and homogeneous spaces", American Journal of Mathematics, 77 (3): 493—512, doi:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372637, MR 0074084
• Колывагин, В. А. (1988), "Конечность E(Q) и Ш(E,Q) для подкласса кривых Вейля", Изв. АН СССР. Сер. матем., 52 (3): 522—540, 670—671, ISSN 0373-2436, 954295