Группа Фишера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Группы Фишера — это три спорадические группы Fi22[en], Fi23[en] и Fi24[en], введённые Берндом Фишером[1][2].

Группа 3-перестановок[править | править код]

Основная статья: Группа 3-перестановок

Группы Фишера названы именем Бернда Фишера[en], открывшего группы, когда он исследовал группы 3-перестановок. Это группы G со следующими свойствами:

Типичным примером группы 3-перестановки служит симметрическая группа. Симметрическая группа Sn может быть сгенерирована n − 1 перестановкой — (12), (23), ..., (n − 1, n).

Фишер смог классифицировать группы 3-перестановок, удовлетворяющих определённым дополнительным условиям. Группы, которые он обнаружил, распадаются большей частью на некоторые бесконечные классы (кроме симметрических групп, сюда входят некоторые классы симплектических групп, унитарная и ортогональная группы), а также нашёл 3 очень большие новые группы. Эти группы обычно обозначаются как Fi22, Fi23 и Fi24. Первые две из них являются простыми группами, а третья содержит простую группу Fi24′ с индексом 2.

Отправной точкой для групп Фишера является унитарная группа PSU6(2), которую можно рассматривать как группу Fi21 в серии групп Фишера. Эта группа имеет порядок 9.196.830.720 = 215⋅36⋅5⋅7⋅11. Фактически, двойное покрытие 2.PSU6(2) становится подгруппой новой группы. Она является стабилизатором одной вершины в графе с 3510 (= 2⋅33⋅5⋅13) вершинами. Эти вершины определяются как сопряжённые 3-перестановки в группе симметрии Fi22 графа.

Группы Фишера названы по аналогии с большими группами Матьё. В Fi22 максимальное множество 3-перестановок, коммутирующих друг с другом, имеет размер 22 и называется базисным множеством. Существует 1024 3-перестановки, называемых анабазисом, которые не коммутируют с любой перестановкой в выбранном базисном множестве. Любая перестановка из оставшихся 2364 перестановок, называемых шестивалентными, коммутирует с 6 базисными перестановками. Наборы из 6 перестановок образуют систему Штейнера S(3,6,22), группа симметрии которой — M22. Базовое множество генерирует абелеву группу порядка 210, которая расширяется в Fi22 в подгруппу 210:M22.

Следующая группа Фишера получается из 2.Fi22 как одноточечного стабилизатора графа с 31671 (= 34⋅17⋅23) вершинами при интерпретации вершин как 3-перестановок в группе Fi23. 3-перестановки имеют базовые множества размером 23, при этом 7 перестановок коммутируют с заданной внешней 3-перестановкой.

Следующая группа берёт Fi23 как одноточечный стабилизатор графа с 306936 (= 23⋅33⋅72⋅29) вершинами, чтобы образовать Fi24. 3-Перестановки имеют базовые множества размером 24, при этом 8 перестановок среди 24 коммутируют с заданной внешней 3-перестановкой. Группа Fi24 не является простой, но её дочерняя подгруппа имеет индекс 2 и является спорадической простой группой.

Обозначение[править | править код]

Нет единого обозначения этих групп. Некоторые авторы используют F вместо Fi (F22, например). Фишер использовал обозначения M(22), M(23) и M(24)′, чем подчёркивал их тесную связь с тремя наибольшими группами Матьё M22, M23 и M24.

Один из источников путаницы — Fi24. Это обозначение иногда используется для обозначения простой группы Fi24′, а иногда — для полной группы 3-перестановок (вдвое большей).

Обобщённый Чудовищный вздор[править | править код]

Конвей и Нортон предложили в 1979 статью, в которой утверждается, что теория чудовищного вздора[en][3] не ограничивается группой «Монстр» и что похожие явления найдены для других групп. Ларисса Квин и другие обнаружили, что можно построить расширение многих Hauptmoduln (главных модулей)[4] из простых комбинаций размерностей спорадических групп.

Примечания[править | править код]

  1. Fischer, 1971.
  2. Fischer, 1976.
  3. Теория чудовищного вздора исследует неожиданные связи между группой «Монстр» и модулярными функциями
  4. Вообще говоря, Hauptmoduln является термином, пришедшим из немецкого языка. Буквально — главный модуль. В английском языке употребляется для обозначения глобальных униформирующих параметров некоторых расширенных модулярных групп в теории «Чудовищного вздора».

Литература[править | править код]