Группа Шрёдингера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Группа Шрёдингера — это группа симметрии конфигурационного пространства уравнения Шрёдингера. Её образуют преобразования, отображающие физически эквивалентные точки конфигурационного пространства друг в друга. Группа Шрёдингера может быть определена из общих физических соображений. В неё входят: преобразование, осуществляющее перестановку электронов; преобразование, осуществляющее вращение системы координат; преобразование Галилея[1].

Для группы Шрёдингера уравнения Шрёдингера свободной частицы вида:

при преобразовании Галилея вида:

и

может быть получена алгебра Шрёдингера.

Алгебра Шрёдингера[править | править вики-текст]

Алгебра Шрёдингера это алгебра Ли группы Шрёдингера.

Она содержит алгебру Галилея с центральным расширением.

[2]

Тут

- оператор полного момента количества движения, отвечающий вращениям ,
- оператор импульса, отвечающий смещению в пространстве на отрезок ,
- оператор энергии, отвечающий сдвигу начала отсчёта по временной шкале на ,
- оператор, отвечающий галилеевскому преобразованию .[2]

Центральное расширение M интерпретируется как нерелятивистская масса и соответствует симметрии уравнения Шрёдингера при фазовых преобразованиях (и отвечает сохранению вероятности).

Алгебра Шрёдингера имеет две инвариантные величины:[2]

- здесь можно рассматривать как внутреннюю энергию.
- здесь можно рассматривать как внутренний момент количества движения частицы.

Ещё есть два генератора, которые мы обозначим и . У них следующие коммутационные соотношения:

Генераторы , и образуют алгебру .

Роль группы Шрёдингера в математической физике[править | править вики-текст]

Хотя группа Шрёдингера и определяется как группа симметрии свободного уравнения Шрёдингера, она реализуется в некоторых нерелятивистских системах с взаимодействием (к примеру, холодные атомы в критической точке).

Группа Шрёдингера d пространственных размерностей может быть вложена в релятивистскую конформную группу в d+1 размерностях SO(2,d+2). Это вложение отвечает тому факту, что можно получить уравнение Шрёдингера из безмассового уравнения Клейна-Гордона с помощью компактификации Калуцы-Клейна.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • C. R. Hagen , Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory, Phys. Rev. D 5, 377—388 (1972)
  • Arjun Bagchi, Rajesh Gopakumar, Galilean Conformal Algebras and AdS/CFT, JHEP 0907:037,2009
  • D.T.Son, Toward an AdS/cold atoms correspondence: A geometric realization of the Schrödinger symmetry, Phys. Rev. D 78, 046003 (2008)
  • Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики. — М.: Мир, 1967. — 391 с.
  • Вигнер Е. Теория групп. — М.: ИЛ, 1961. — 444 с.

См. также[править | править вики-текст]