Группа вращений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Группа вращений (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — ).

  • Все группы вращений , в том числе и , являются группами Ли.
  • Группы вращений и вообще при некоммутативны.
  • Группа диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором ), проходящей через центр координат, и углом . Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса . Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам и соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
  • Универсальная накрывающая группы является специальной унитарной группой , или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Иногда группами вращений называют специальную ортогональную группу — группу вращения -мерного евклидова пространства. Особым случай является группа вращений плоскости или U(1); в отличие от случая вращения трёхмерного пространства, она является коммутативной.

Литература

[править | править код]
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — М.: Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — 148 с. — ISBN 5-93972-165-6.