Корни из единицы

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $x^{n}-1$, где $n\geqslant 1$. Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена $x^{n}-1$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика $p$ которого не является делителем степени $n$ многочлена.

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье, теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

Представление

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

$1=\cos 0+i\sin 0.$

Тогда по формуле Муавра получим выражение для $k$-го корня n-й степени из единицы $u_{k}$:

$u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,\dots ,n-1.$

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

$u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,\dots ,n-1.$

Из этих формул вытекает, что корней n-й степени из единицы всегда ровно $n$, и все они различны.

Примеры

Кубические корни из единицы

Кубические корни из единицы:

$\left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.$

Корни 4-й степени из единицы:

$\left\{1,+i,-1,-i\right\}.$

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:

${\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \}}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.$

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два ($u_{1}$ и $u_{5}$):

$\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.$

Свойства

Геометрические свойства

Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица $1+0i.$ Вещественных корней может быть либо два, если $n$ чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если $n$ нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если $u_{k}$ — корень из единицы, то сопряжённое к нему число ${\overline {u_{k}}}$ — тоже корень из единицы.

Пусть M — произвольная точка единичной окружности и $n>1.$ Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней $n$-й степени из единицы равна $2n$.

Алгебраические свойства

Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.

Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка $n$. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица.

Корни 6-й степени из единицы как степени первого порождающего элемента

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов $\mathbb {Z} _{n}.$ Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент $u_{k}$, индекс $k$ которого взаимно прост с $n$.

Следствия:

• элемент $u_{1}$ всегда является первообразным (его часто называют главным корнем из единицы);
• если $n$ — простое число, то степени любого корня, кроме $\pm 1$, охватывают всю группу (то есть все корни, кроме $\pm 1$, являются первообразными);
• число первообразных корней равно $\varphi (n)$, где $\varphi$ — функция Эйлера.

Если $n>1$, то для любого первообразного корня из единицы $u$ имеют место формулы

$\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,$

$\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.$

Круговые поля

Основная статья: Круговое поле

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле $K_{n}=\mathbb {Q} (u)$, порождённое присоединением к полю рациональных чисел $\mathbb {Q}$ первообразного корня n-й степени из единицы $u$. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: $K_{3}$ состоит из комплексных чисел вида $a+b{\sqrt {3}}\,i$, где $a,b$ — рациональные числа.

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Обобщения

Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля $K$ как решения уравнения $x^{n}=1$, где $1$ — единица поля $K$. Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля $K$. Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля $K$ содержит только корни из единицы и является циклической.

Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы совместно с нулём образует конечное поле.

История

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

$x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1=0.$

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде $2^{2^{r}}+1$. Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год).

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа.

См. также

• Круговой многочлен
• Первообразный корень из единицы

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 188 и далее. — 299 с.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — Стб. 15.
• Milne, James S. Algebraic Number Theory  (неопр.). Course Notes (1998). Архивировано 2 апреля 2012 года.

Ссылки

• Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.