Группа (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Гру́ппа в математикемножество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп[1].

Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, число с противоположным знаком является обратным элементом, а роль нейтрального элемента играет нуль. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц[2].

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы[3].

Современная теория групп является активным разделом математики[4]. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве[5]. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определение[править | править вики-текст]

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией :G×GG называется группой (G,*), если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: ;
  2. наличие нейтрального элемента: ;
  3. наличие обратного элемента: .

Комментарии[править | править вики-текст]

  • Из аксиом группы следует, что элемент a−1, обратный элементу a, единственен.
  • В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной :
.
  • Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента (т.е. такого элемента el, что для любого элемента a выполнено el*a = a) и левого обратного элемента (т.е. для любого элемента a должен быть элемент al−1, такой что al−1*a = el). При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами[6].

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности.
    • Пары элементов , для которых выполнено равенство , называются перестановочными или коммутирующими.
    • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
    • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
  • Подгруппа — подмножество группы , которое является группой относительно операции, определённой в .
  • Порядок группы  — мощность (то есть число её элементов).
    • Если множество конечно, то группа называется конечной.
  • Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп называется гомоморфизмом, если удовлетворяет условию .
  • Две группы называются изоморфными, если существуют гомоморфизм групп и гомоморфизм групп , такие что и , где и . В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами.
  • Для элемента , левый смежный класс по подгруппе — множество , правый смежный класс по подгруппе — множество .
  • Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого , .
  • Фактор-группа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения[править | править вики-текст]

Мультипликативная запись[править | править вики-текст]

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

  • результат операции называют произведением и записывают ab или ab;
  • нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
  • обратный к a элемент записывается как a−1.

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу G при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: (G,•).

Кратные произведения aa, aaa,... записывают в виде натуральных степеней a2, a3,...[7]. Для элемента a корректно[8] определена целая степень, следующим образом:a0=e, a-n=(a−1)n. Для степени элемента справедливо am+n=aman, (an)m=anm, для любых n,mZ. В частности, en=e, для любого nZ[9].

Аддитивная запись[править | править вики-текст]

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

  • пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
  • обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
  • обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
  • запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a - b;
  • выражения вида a + a, a + a + a, -a - a, … обозначают символами 2a, 3a, −2a, …

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу G при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: (G,+)[9].

Примеры[править | править вики-текст]

Существует гигантское количество примеров групп, а также их применений в современном мире. Множество целых чисел, связанные операцией сложения, является аддитивной группой или группой по сложению. Множество рациональных чисел, не включающее 0, с операцией умножения является мультипликативной группой. Эти группы положили начало возникновению важнейших конструкций в разделе общей алгебры. Группы применяются в различных областях математики. Математические объекты часто связываются с группами для дальнейшего изучения их свойств. Например, Анри Пуанкаре основал топологию, введя понятие фундаментальной группы[10]. Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии, которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов.

Часы показывают время по модулю 12. .

В модульной арифметике складывают два целых числа, а полученную сумму делят на целое положительное число, называемое впоследствии модулем. Результатом модульной операции является остаток от деления. Для любого модуля n множество целых чисел от 0 до n-1 образует группу по сложению. Обратным элементом к a является число a−1 = n-a, нейтральный элемент — 0. Наглядным примером такой группы могут быть часы с циферблатом[11].

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.

  • Целые числа с операцией сложения. (Z,+) — коммутативная группа с нейтральным элементом 0. Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, a = 2, тогда a*b = 1 то есть b = 1/2. Обратный элемент не является целым числом[12].
  • Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица[12].
  • Свободная группа с двумя образующими (F2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем ɛ (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a, a−1, b и b−1 таких, что a не появляется рядом с a−1 и b не появляется рядом с b−1. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa−1, a−1a, bb−1 и b−1b[13].
  • Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Мощность конечной симметрической группы Sn для множества из n элементов равна n!. При n≥3 эта группа не является абелевой[14]. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли)[12][15].
6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу
  • Циклические группы состоят из степеней <a>={an|nZ} одного элемента a. Элемент a называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из n комплексных корней из единицы, то есть группа комплексных чисел z, удовлетворяющих условию |zn| = 1, и операции умножения комплексных чисел[16]. Мультипликативная конечная группа (G,•) также является циклической. Например, n = 5. В таком случае 3 является образующим элементом группы G:
  • Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы S48, элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика. Композиция двух преобразований снова является преобразованием, для каждого преобразования существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент[17].
  • Группы Галуа. Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. Например, решение квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 даёт корни: Подобная формула есть для уравнения третьей и четвёртой степени, но не существует для полиномиального уравнения степени 5 и выше[18].

Простейшие свойства[править | править вики-текст]

  • Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
  • (a−1)−1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
  • (ab)−1 = b−1a−1.
  • Верны законы сокращения:
c · a = c · ba = b,
a · c = b · c ⇔ a = b.
  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент[19].
  • Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление»[1].
  • Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G[20].
  • Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок[21].
  • Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы[править | править вики-текст]

Группу можно задать:

История[править | править вики-текст]

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа, доработав исследования Руффини и Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок[3]. Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θn = 1» (англ. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn1")[26].

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна. После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии, Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году[3].

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел. Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса «Арифметические исследования» (1798). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Кумера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе[3].

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870)[27]. В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп, модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура. Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан. Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп, впервые сформулированная Клодом Шевалле, позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса[3].

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики[5][28][29].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Группы с дополнительной структурой[править | править вики-текст]

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (т.е., например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств)[33].

Кольца[править | править вики-текст]

Кольцомножество К, на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным, если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца 1 называется единицей, если выполнено условие: a • 1 = 1 • a = a, где а — любой элемент кольца.

Числовые множества Z, Q, R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть ab = - ba) в силу свойств векторного умножения[34]: a × b + b × a = 0.

Поля[править | править вики-текст]

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо F с единицей, причём относительно сложения F образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Числовые множества Q и R являются полями. В любом поле ab = 0 только при а = 0 и/или b = 0[35].

Топологические группы[править | править вики-текст]

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой.

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × GG и операция взятия обратного элемента GG оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии[36]. Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top[33].

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа действительных чисел (R, +), мультипликативная группа ненулевых действительных чисел (R*, •), полная линейная группа GL(n) порядка n, специальная линейная группа SL(n) порядка n, ортогональная группа O(n) порядка n, специальная ортогональная группа SO(n) порядка n, унитарная группа U(n), специальная унитарная группа SU(n) порядка n[37].

Группы Ли[править | править вики-текст]

Группа Ли (в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля действительных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы G × GG и операция взятия обратного элемента GG оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная n-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности 2n[38].

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют[39] изометрии вида EE, где Eевклидово точечное пространство (полученная группа, обозначаемая Is(E)[40], является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства E, обозначаемой Aff(E))[41].

Группы Ли являются (в плане богатства имеющейся на них структуры) лучшими из многообразий и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике[38].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 16. — 288 с. — 11 800 экз.
  2. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 9-14. — 288 с. — 11 800 экз.
  3. 1 2 3 4 5 Israel Kleiner. The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195-215. — DOI:10.2307/2690312.
  4. Только в 2005 году, согласно данным MathSciNet, было опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в области Group theory and generalisations.
  5. 1 2 Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification / под ред. А.И. Кострикина. — Мир. — Москва: Мир, 1985. — С. 9—17. — 352 с. — 5250 экз.
  6. Сагалович, 2010, с. 50.
  7. Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
  8. Корректность вытекает из единственности обратного элемента.
  9. 1 2 Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 18. — 288 с. — 11 800 экз.
  10. Hatcher Allen. Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — P. 30. — ISBN 978-0-486-45868-7.
  11. М. Вельшенбах. Глава 5. Модульная математика: вычисление в классах вычетов. // Криптография на C и С++ в действии. — М.: «Триумф», 2004. — С. 81—84. — 464 с. — ISBN 5-89392-083-X.
  12. 1 2 3 Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
  13. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 122—124. — 288 с. — 11 800 экз.
  14. Курош А. Г. Теория групп / под ред. Брудно К. Ф. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1967. — С. 34. — 648 с. — 20 000 экз.
  15. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 351. — 559 с. — 40 000 экз.
  16. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 162—163. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  17. Schönert, Martin. Analyzing Rubik's Cube with GAP (англ.). Проверено 19 июля 2013. Архивировано из первоисточника 5 сентября 2013.
  18. Постников М. М. Теория Галуа. — Москва: Физматгиз, 1963. — С. 126—127. — 220 с. — 11 500 экз.
  19. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 17. — 288 с. — 11 800 экз.
  20. Сагалович, 2010, с. 56.
  21. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 353. — 559 с. — 40 000 экз.
  22. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 24. — 288 с. — 11 800 экз.
  23. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 45—46. — 288 с. — 11 800 экз.
  24. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е. — Факториал Пресс, 2001. — С. 409, 415. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  25. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 330—331. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
  26. Cayley (1854) "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1", Philosophical Magazine, 4th series, (42) : 40–47.
  27. Wussing, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. — Review of General Psychology. — Нью-Йорк: Dover Publications, 2007. — P. 154. — ISBN 978-0-486-45868-7.
  28. Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : журнал. — 2005. — August (vol. 52, no. 7). — P. 728-735.
  29. Wilson, Robert A. The finite simple groups. — Graduate Texts in Mathematics. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2009. — P. 2-5. — ISBN 978-1-84800-987-5. — DOI:10.1007/978-1-84800-988-2
  30. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 5. — 223 с. — 2800 экз.
  31. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 6. — 223 с. — 2800 экз.
  32. 1 2 Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 346—347. — 559 с. — 40 000 экз.
  33. 1 2 Букур И., Деляну А. Введение // Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categories and functors / пер. с англ. Д. А. Райкова , В. Ф. Ретах . — М.: Мир, 1972. — С. 9—10. — 259 с.
  34. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 14—15. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  35. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 16. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  36. Бурбаки Н.  Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969.  С. 12.
  37. Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. Геометрические главы.  М.: Наука, 1977.  С. 268—271.
  38. 1 2 Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 501. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  39. Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. С. 201.
  40. Дьедонне Ж.  Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. С. 129.
  41. Долгачёв И. В., Широков А. П. Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. М.: Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.

Литература[править | править вики-текст]

Популярная литература[править | править вики-текст]

Научная литература[править | править вики-текст]