Группоид (теория категорий)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий группо́ид — это категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп. А именно, категория, соответствующая группе , имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента из . Композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе. Видно, что при этом каждая стрелка является изоморфизмом. Таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любая категория, являющаяся группой, является группоидом.
  • Пусть  — произвольная категория, а  — подкатегория, объекты которой совпадают с объектами , а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в . Тогда  — группоид.
  • Пусть  — линейно связное топологическое пространство. Тогда его фундаментальный группоид  — это 2-категория, объектами которой являются все точки из , а стрелки из в соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из в :
Две функции и задают один и тот же путь если существует , так что или . Композиция стрелок задаётся композицией путей:
2-морфизм из в  — это гомотопия из в . Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта .
  • Категория векторных расслоений ранга над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид. Это замечание лежит в основе введения понятия джерба (англ.) (который является частным случаем стека (англ.)), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий , где  — пучок групп на . Понятие особенно важно в случае неабелевых групп .

См. также[править | править вики-текст]