Группы Конвея

Группы Конвея — это три введённые Конвеем спорадические простые группы Co₁, Co₂ и Co₃ вместе со связанной с ними конечной группой Co₀.

Наибольшая из групп Конвея, Co₀, является группой автоморфизмов решётки Лича $\Lambda$. Эта группа имеет порядок

8 315 553 613 086 720 000

Она не является простой группой. Простая группа Co₁ порядка

4 157 776 806 543 360 000

определяется как факторгруппа группы Co₀ по её центру, который состоит из скалярных матриц ±1.

Скалярное произведение на решётке Лича определяется как 1/8 суммы произведений соответствующих координат двух перемножаемых векторов. Это целое число. Квадратичная норма вектора равна скалярному произведению вектора на себя, всегда чётное целое число. Часто говорят о типе вектора решётки Лича, который равен половине нормы. Подгруппы часто называются согласно типам соответствующих фиксированных точек. Решётка не имеет векторов типа 1.

Группы Co₂ (порядка 42 305 421 312 000) и Co₃ (порядка 495 766 656 000) состоят из автоморфизмов $\Lambda$, сохраняющих вектора типа 2 и вектора типа 3 соответственно. Так как умножение на скаляр −1 не сохраняет никакого ненулевого вектора, эти две группы изоморфны подгруппам группы Co₁.

История

Томас Томпсон рассказал, как Джон Лич примерно в 1964 году исследовал плотную упаковку сфер в евклидовых пространствах высоких размерностей. Одним из открытий Лича была решётчатая укладка в 24-мерном пространстве, основанная на том, что стало называться решёткой Лича $\Lambda$. Он решил узнать, содержит ли группа симметрии решётки интересные простые группы, но почувствовал, что ему нужна помощь кого-либо, более осведомлённого в теории групп. Он долго искал такого человека, но математики были заняты своими собственными задачами. Джон Конвей согласился посмотреть на эту задачу. Джон Г. Томпсон заявил, что примет участие в работе, если Конвей найдёт порядок группы. Конвей полагал, что потратит на проблему месяцы или годы, но получил результат за несколько дней.

Витт утверждал, что он нашёл решётку Лича в 1940 году, и намекнул, что вычислил порядок её группы автоморфизмов Co₀.

Мономиальная подгруппа N группы Co₀

Конвей начал свои исследования Co₀ с подгруппы, которую он назвал N. Это голоморф (расширенного) двоичного кода Голея, представленного как набор диагональных матриц c 1 или −1 на диагонали, то есть его расширение с помощью группы Матьё M₂₄ (элементы которой представлены как матрицы перестановки). N ≈ 2¹²:M₂₄.

Стандартное представление двоичного кода Голея, используемое в данной статье, упорядочивает 24 координаты так, что 6 последовательных блоков по 4 (тетрад) образуют секстет.

Матрицы группы Co₀ ортогональны. То есть, они оставляют скалярное произведение неизменным. Обратная матрица является её транспонированной. Co₀ не содержит матриц с определителем −1.

Решётку Лича можно определить как Z-модуль, порождённый множеством $\Lambda _{2}$ всех векторов типа 2, состоящих из

(4, 4, 0²²)

(2⁸, 0¹⁶)

(−3, 1²³)

и их образов под действием N. $\Lambda _{2}$ под действием N распадается на 3 орбиты размера 1104, 97152 и 98304. Тогда $|\Lambda _{2}|=196560=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13$. Конвей сильно подозревал, что Co₀ транзитивна на $\Lambda _{2}$, и, более того, он обнаружил новую матрицу, не мономиальную и не целочисленную.

Пусть $\eta$ — матрица 4×4

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}}$

Теперь пусть $\zeta$ — 6-блочная матрица с нечётным числом $\eta$ и $-\eta$. $\zeta$ является симметричной и ортогональной матрицей, а значит, представляет собой инволюцию. Она переставляет вектора между различными орбитами группы N.

Чтобы вычислить $|\mathrm {Co} _{0}|$, лучше всего рассмотреть $\Lambda _{4}$, множество векторов типа 4. Любой вектор типа 4 является в точности одним из 48 векторов типа 4, сравнимых друг с другом по модулю $2\Lambda$, которые распадаются на 24 ортогональные пары $\{v,-v\}$. Набор из 48 таких векторов называется каркасом (англ. frame). N имеет в качестве орбиты стандартный каркас из 48 векторов вида (±8, 0²³). Подгруппа, фиксирующая заданный каркас, сопряжена с N. Группа 2¹², изоморфная коду Голея, действует как изменение знака векторов каркаса, в то время как M₂₄ переставляет 24 пары каркаса. Co₀, как можно показать, транзитивна на $\Lambda _{4}$. Конвей перемножил порядок $2^{12}|\mathrm {M} _{24}|$ группы N и число каркасов, последнее равно отношению $|\Lambda _{4}|/48=8252375=3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13$. Это произведение является порядком любой подгруппы группы Co₀, которая строго содержит N. Следовательно, N является максимальной подгруппой группы Co₀ и содержит силовские 2-подгруппы группы Co₀. N также является подгруппой Co₀ всех матриц с целыми элементами.

Поскольку $\Lambda$ включает вектора вида (±8, 0²³), Co₀ состоит из рациональных матриц, в которых все знаменатели делят 8.

Наименьшее нетривиальное представление группы Co₀ над любым полем является 24-мерным, возникающим из решётки Лича, и оно точно над полями с характеристикой, отличной от 2.

Инволюции в Co₀

Любая инволюция в Co₀, как можно показать, сопряжена элементу в коде Голея. Co₀ имеет 4 класса сопряжённости инволюций.

Перестановочная матрица вида 2¹², как можно показать, сопряжена додекадам. Её централизатор имеет вид 2¹²:M₁₂ и имеет сопряжения внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица в этом сопряжённом классе имеет след 0.

Матрица перестановок вида 2⁸1⁸, как можно показать, сопряжена октаде. Она имеет след 8. Она и противоположная ей (след −8) имеют общий централизатор вида $(2^{1+8}\times 2).\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$, максимальная подгруппа в Co₀.

Группы подрешёток

Конвей и Томпсон обнаружили, что четыре недавно найденные спорадические простые группы, описанные в докладе на конференции, изоморфны подгруппам или факторгруппам подгрупп Co₀.

Конвей сам использовал нотацию для стабилизаторов точек и подпространств, ставя в начале префикс в виде точки. Исключениями были •0 и •1, известные ныне как Co₀ и Co₁. Для целого $\mathbf {n} \geqslant 2$ пусть ${\boldsymbol {\cdot }}\mathbf {n}$ означает стабилизатор точек типа n (см. выше) в решётке Лича.

Конвей затем ввёл названия для стабилизаторов плоскостей, определённых треугольниками, имеющими начало координат в качестве вершины. Пусть •hkl будет поточечным стабилизатором треугольника с рёбрами (разности вершин) типа h, k и l. В простейших случаях Co₀ транзитивна на точках или треугольниках и группы стабилизаторов определены с точностью до сопряжённости.

Конвей отождествил •322 с группой МакЛафлина McL (порядок 898 128 000), а •332 с группой Хигмана — Симса HS (порядок 44 352 000). Обе были недавно обнаружены.

Ниже таблица некоторых групп подрешёток:

Название	Порядок	Структура	Пример вершин
•2	218 36 53 7 11 23	Co2	(−3, 123)
•3	210 37 53 7 11 23	Co3	(5, 123)
•4	218 32 5 7 11 23	211:M23	(8, 023)
•222	215 36 5 7 11	PSU6(2) ≈ Fi21	(4, −4, 022), (0, −4, 4, 021)
•322	27 36 53 7 11	McL	(5, 123), (4, 4, 022)
•332	29 32 53 7 11	HS	(5, 123), (4, −4, 022)
•333	24 37 5 11	35 M11	(5, 123), (0, 212, 011)
•422	217 32 5 7 11	210:M22	(8, 023), (4, 4, 022)
•432	27 32 5 7 11 23	M23	(8, 023), (5, 123)
•433	210 32 5 7	24.A8	(8, 023), (4, 27, −2, 015)
•442	212 32 5 7	21+8.A7	(8, 023), (6, −27, 016)
•443	27 32 5 7	M21:2 ≈ PSL3(4):2	(8, 023), (5, −3, −3, 121)

Две другие спорадические подгруппы

Две спорадические подгруппы можно определить как факторгруппы стабилизаторов структур на решётке Лича. Отождествление R²⁴ с C¹² и $\Lambda$ с

$\mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},$

результирующей группой автоморфизмов (то есть, группой автоморфизмов решётки Лича, сохраняющих комплексную структуру), когда делится на шестиэлементную группу комплексных скалярных матриц, даёт группу Судзуки Suz (порядка 448,345,497,600). Эту группу обнаружил в 1968 году Митио Сузуки.

Похожее построение даёт группу Янко J₂ (порядок 604,800) как факторгруппу кватернионных автоморфизмов $\Lambda$ по группе скаляров ±1.

Семь простых групп, описанных выше, включают то, что Роберт Грисс назвал вторым поколением счастливого семейства, которое состоит из 20 спорадических простых групп, найденных в монстре. Некоторые из семи групп содержат по меньшей мере некоторые из пяти групп Матьё, которые составляют первое поколение.

Цепочка Сузуки произведения групп

Co₀ имеет 4 класса смежности элементов порядка 3. В M₂₄ элемент вида 3⁸ образует группу, нормальную в копии S₃, которая коммутирует с простой подгруппой порядка 168. Прямое произведение $\mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3}$ в M₂₄ переставляет октады трио и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальной подгруппе. В Co₀ этот мономиальный нормализатор $2^{4}\colon \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3}$ расширен до максимальной подгруппы вида $2.\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3}$, где 2.A₉ является двойным накрытием знакопеременной группы A₉.

Джон Томпсон указал на то, что было бы плодотворно изучение нормализаторов малых групп вида 2.A_n. Некоторые максимальные подгруппы Co₀ найдены таким способом. Более того, две спорадические группы появляются в результирующей цепочке.

Существует подгруппа $2.\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{4}$, только одна из её цепочек не максимальна в Co₀. Далее, существует подгруппа $(2.\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {PSL} _{2}(7))\colon {2}$. Следующей идёт $(2.\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {SU} _{3}(3)):2$. Унитарной группой $\mathrm {SU} _{3}(3)$ (порядок 6048) связана с группой автоморфизмов графа с 36 вершинами, предвосхищая следующую подгруппу. Эта подгруппа — $(2.\mathrm {A} _{5}\circ \mathrm {2.HJ} ):2$, в которой появляется Группа Янко J2. Упомянутый граф расширяется до графа Холла — Янко со 100 вершинами. Следующей идёт $(2.\mathrm {A} _{4}\circ 2.\mathrm {G} _{2}(4)):2$, группа G₂(4), которая является исключительной группой лиева типа.

Цепочку завершает 6.Suz:2 (Suz=Спорадическая группа Судзуки), которая, как упомянуто выше, сохраняет комплексное представление решётки Лича.

Обобщённый Чудовищный Вздор

Конвей и Нортон предположили в статье 1979 года, что возможен аналог чудовищного вздора и для других групп. Лариса Куин и другие последовательно нашли, что можно построить расширения многих главных модулей (в английской литературе используется заимствованный из немецкого языка термин Hauptmodul, буквально — главный модуль) из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующие ряды Маккея — Томпсона — это $T_{2B}(\tau )$={1, 0, 276, −2048, 11 202, −49 152, …} (A007246) и $T_{4A}(\tau )$={1, 0, 276, 2048, 11 202, 49 152, …} (A097340), где постоянный член a(0)=24,

${\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}$

и $\eta (\tau )$ является эта-функцией Дедекинда.

Литература

• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Издание второе. — Ижевск: МЦНМО, ВКМ НМУ, 1999. — ISBN 5-89806-028-4.
• John Horton Conway. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1968. — Т. 61, вып. 2. — С. 398–400. — doi:10.1073/pnas.61.2.398. — PMC 225171.
• Theory of finite groups: A symposium / Brauer R., Chih-han Sah. — W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
• John Horton Conway. A group of order 8,315,553,613,086,720,000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1969. — Т. 1. — С. 79–88. — ISSN 0024-6093. — doi:10.1112/blms/1.1.79.
• John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / Powell M. B., Higman G.. — Boston, MA: Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.). — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane (1999, 267–298)
• John Horton Conway, Neil Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-0-387-98585-5.
• Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-88385-023-7.
• John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis R. T. , Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
• Robert L. Griess Jr. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-62778-4.
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ version 2
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ (Архивная копия от 27 марта 2008 на Wayback Machine) version 3
• Robert A. Wilson. The maximal subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1983. — Т. 85, вып. 1. — С. 144–165. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(83)90122-9.
• Robert A. Wilson. On the 3-local subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1988. — Т. 113, вып. 1. — С. 261–262. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(88)90192-5.
• Robert A. Wilson. The finite simple groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2009. — (Graduate Texts in Mathematics 251). — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.
• Ernst Witt. Collected papers. Gesammelte Abhandlungen. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — ISBN 978-3-540-57061-5.
• R. T. Curtis, B. T. Fairburn. Symmetric Representation of the elements of the Conway Group •0 // Journal of Symbolic Computation. — 2009. — Вып. 44. — С. 1044—1067.