Группы симметрии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

Примеры[править | править код]

  • Группа симметрии отрезка в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и отражение относительно середины отрезка. Но в двумерном евклидовом пространстве существует уже 4 движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным множеством симметрий (элементами группы симметрии будут, в частности, повороты на произвольный угол вокруг прямой, содержащей этот отрезок).
  • Группа симметрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симметрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симметрической группе S3. Однако группа симметрии квадрата имеет порядок 8, а симметрическая группа S4 изоморфна группе симметрии правильного тетраэдра.
  • Группа симметрии разностороннего треугольника тривиальна, то есть состоит из одного элемента ― тождественного преобразования.
  • Если считать, что человеческое тело зеркально симметрично, то его группа симметрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симметричные друг другу правую и левую части.
  • Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент[1]) имеет группу симметрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным ему элементом. Это частный (двумерный) случай кристаллографических групп, о которых сказано далее.
  • Группы симметрии решёток. В различных областях математики используются различные понятия решётки. В частности:
    • В физике твёрдого тела и теории кристаллографических групп кристаллическая решётка — это обладающее трансляционной симметрией множество точек аффинного пространства. Симметрии этого множества должны сохранять расстояние между точками, то есть быть движениями. Группа этих движений — это кристаллографическая группа (либо сюръективно гомоморфно отображается в кристаллографическую группу)[2].
    • В теории групп решётка — это группа, изоморфная , с билинейной формой на ней (в трёхмерном евклидовом пространстве соответствует решётке Браве из теории кристаллографических групп с выделенным началом координат). Симметрии такой решётки должны быть автоморфизмами группы. Группа таких автоморфизмов, в отличие от кристаллографической группы, конечна, если билинейная форма решётки соответствует евклидову пространству[3].

Классификация[править | править код]

Ниже предполагается, что для каждой точки множество образов , где  — группа симметрии, топологически замкнуто.

Одномерное пространство[править | править код]

Каждое движение одномерного пространства является либо переносом всех точек прямой на некоторое фиксированное расстояние, либо отражением относительно некоторой точки. Множество точек одномерного пространства обладает одной из следующих групп симметрии:

  • тривиальная группа C1
  • группа, состоящая из тождественного преобразования и отражения относительно точки (изоморфна циклической группе C2)
  • бесконечные группы, состоящие из степеней некоторого переноса (изоморфны бесконечной циклической группе)
  • бесконечные группы, для которых образующими являются некоторый перенос и отражение относительно некоторой точки;
  • группа всех переносов (изоморфна аддитивной группе действительных чисел)
  • группа всех переносов и отражений относительно каждой точки прямой

Двумерное пространство[править | править код]

В двумерном случае группы симметрии делятся на следующие классы:

Трехмерное пространство[править | править код]

Перечень конечных групп симметрии состоит из 7 бесконечных серий и 7 случаев, рассматриваемых отдельно. В этот перечень входят 32 точечные кристаллографические группы и группы симметрии правильных многогранников.

Непрерывные группы симметрии включают:

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. В математике замощение пространства называется мозаикой или паркетом
  2. Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Heat Kernels and Analysis on Manifolds, Graphs, and Metric Spaces. — AMS, 2003. — P. 288. — ISBN 0-8218-3383-9.
  3. J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, Inc., 1999. — P. 90. — ISBN 0-387-98585-9.

Литература[править | править код]