Двенадцатигранники

Двенадцатигра́нник — многогранник с двенадцатью гранями.

Существует несколько объёмных фигур с двенадцатью гранями.

Правильный додекаэдр

Правильный додекаэдр

Ромбододекаэдр

С древнейших времён известна фигура, у которой 12 граней, это правильный додекаэдр. Такой додекаэдр — одно из пяти платоновых тел и обладает симметрией вращения пятого порядка. Однако, у этого во многих отношениях идеального многогранника есть недостаток. Дело в том, что правильными пятиугольниками нельзя без зазоров покрыть плоскость. Также додекаэдрами невозможно плотно заполнить пространство. Из этого следует невозможность существования кристаллов с осями симметрии пятого порядка и невозможность существования кристаллов в форме платонова додекаэдра. Однако, известны вирусы и белки́ в форме такого додекаэдра, с осями симметрии пятого порядка. Предполагают, что они приобрели такую форму во избежание кристаллизации. Также известны квазикристаллы в форме правильного додекаэдра (такие как Квазикристалл сплава гольмия, магния и цинка) с икосаэдральной симметрией, котроая включает истинные оси вращения пятого порядка.

Правильные звездчатые додекаэдры

Три из четырёх тел Кеплера-Пуансо также являются правильными додекаэдрами.

Ромбододекаэдр

Фигура, огранённая равными ромбами и являющаяся двойственным кубооктаэдру многогранником.

Гексагональная бипирамида

Фигура, получающаяся при соединении двух одинаковых правильных шестиугольных пирамид через их основания.

• 
  Гексагональная бипирамида

Другие додекаэдры с пятиугольными гранями

В кристаллографии два важных додекаэдра встречаются в виде кристаллических форм в некотором классе симметрий кубической сингонии, которая топологически эквивалентна правильному додекаэдру, но менее симметрична — пиритоэдр с пиритоэдральной симметрией и тетартоид с тетраэдральной симметрией.

Пентагондодекаэдр (пиритоэдр)

Пиритоэдр

Визуально очень похож на платоново тело, но имеет совсем другую симметрию — центральный вид симметрии кубической сингонии (T_h). Подобно правильному додекаэдру он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней при трёх сходящихся в каждой из 20 вершин гранях. Однако не требуется, чтобы пятиугольники были правильными. Грани симметричны относительно плоскости, проходящей через центр фигуры. 30 рёбер многогранника делятся на два множества, содержащих 24 и 6 рёбер с одинаковыми длинами. Единственные оси вращения — три попарно перпендикулярные второго порядка и четыре оси третьего порядка. Хотя правильный додекаэдр не встречается в кристаллах, пиритоэдр является одной из простых форм кристаллов, встречается в кристаллах пирита и это может послужить источником вдохновения для открытия формы правильного многогранника.

Двойственные положения в моделях кристаллов пирита

Кристалл пирита

Название Кристалл пирита пришло из одного из двух габитусов (обликов) кристаллов, образованных пиритом (другой - куб). В пиритоэдральном пирите грани имеют индекс Миллера (210), что означает, что двугранный угол равен 2·arctan(2) ≈ 126.87° и каждая пятиугольная грань имеет один угол примерно 121.6° между двумя углами примерно в 106.6°, а противоположные два угла равны примерно 102.6°. Следующие формулы показывают размеры граней в идеальном кристалле (который редко встречается в природе).

${\text{Высота}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot {\text{Длинная сторона}}$

${\text{Ширина}}={\frac {4}{3}}\cdot {\text{Длинная сторона}}$

${\text{Короткие стороны}}={\sqrt {\frac {7}{12}}}\cdot {\text{Длинная сторона}}$

Природный пирит (справа - с указанием величины углов на грани)

Декартовы координаты

Восемь вершин куба имеют координаты (±1, ±1, ±1).

Координаты 12 других вершин (0, ±(1 + h), ±(1 − h²)), (±(1 + h), ±(1 − h²), 0) и (±(1 − h²), 0, ±(1 + h)).

Здесь h — высота клиновидной «крыши» над гранью губа со стороной длины 2.

Важный случай — h = 1/2 (четверть длины куба) для идеального природного пирита (also the pyritohedron in the Структура Уэйра - Фелана).

Другой важный случай — h = 1/φ = 0.618... для правильного додекаэдра. Смотрите раздел Геометрическая свобода для других вариантов.

Два пиритоэдра с обмененными ненулевыми координатами находятся в двойственных позиция друг друга как додекаэдры в соединении двух додекаэдров.

Ортогональные проекции пиритоэдра с h = 1/2

Высоты 1/2 и 1/φ

Анимация
Соты из чередующихся выпуклых и вогнутых перитоэдров с высотой между ±1/φ	Высоты между 0 (куб) и 1 (ромбододекаэдр)

Геометрическая свобода

Пиритоэдр имеет геометрическую свободу с предельными случаями - кубическая выпуклая оболочка с коллинеарными рёбрами в качестве одного предела и ромбододекаэдр в качестве другого предела, когда 6 рёбер вырождаются до нулевой длины. Пиритоэдр получается из ромбододекаэдра, если отклонить грань ромбододекаэдра в сторону вершины. Правильный додекаэдр представляет специальный промежуточный случай, когда все рёбра и углы равны.

• 
  индекс грани {10,9,0}
• 
  индекс грани {2,1,0}
• 
  индекс грани {7,1,0}

Можно обойти эти предельные случаи, создавая вогнутые или невыпуклые пиритоэдры. Эндододекаэдр является вогнутым и равносторонним, вместе с выпуклым правильным додекаэдром он может заполнять пространство. Продолжая в том же направлении мы проходим вырожденный случай, когда двенадцать вершин оказываются в центре, и получаем правильный большой звёздчатый додекаэдр, когда все рёбра и углы снова становятся равными, а грани превращаются в правильные пентаграммы. В другую сторону проходим ромбододекаэдр и получаем невыпуклый равносторонний додекаэдр с похожими на рыбки самопересекающимися равносторонними пятиугольными гранями.

Специальные случаи пиритоэдра
Версии с равными по абсолютной величине и противоположными знаками вместе образуют соты. (Сравните эту анимацию.) Показанное отношение — отношение длин, а именно длин из множества 24 рёбер к длинам рёбер из множества 6 рёбер.
Отношение	1 : 1	0 : 1	1 : 1	2 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1
h	−√5 + 1/2	−1	−√5 + 1/2	0	√5 − 1/2	1	√5 + 1/2
	−1.618...		−0.618...		0.618...		1.618...
Изображение	Правильная звезда, большой звёздчатый додекаэдр, с гранями в виде пентаграмм	Вырожденный додекаэдр, 12 вершин в центре	Вогнутый равносторонний додекаэдр, называемый эндододекаэдром.	куб может быть разделён в пиритоэдр путём деления пополам всех рёбер и деления граней в чередующихся направлениях.	Правильный додекаэдр является промежуточным случаем с равными длинами рёбер.	Ромбододекаэдр является вырожденным случаем, когда 6 рёбер сокращаются до нулевой длины.	Самопересекающийся равносторонний додекаэдр

Тетартоид (пентагонтритетраэдр)

Тетартоид

Тетартоид (также пентагонтритетраэдр) — это додекаэдр с хиральной тетраэдральной симметрией (T). Подобно правильному додекаэдру, он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, которые по три встречаются в каждой из 20 вершин. Однако пятиугольники не являются правильными и фигура не обладает осями симметрии порядка 5.

Кобальтин

Хотя правильный додекаэдр в кристаллах не существует, тетартоидная форма встречается. Название тетартоид происходит от греческого «одна четвёртая», поскольку он имеет четверть полной октаэдральной симметрии и половину пирамидальной Минерал кобальтин может иметь симметрию этого вида.

Абстракции, имеющие ту же топологию и симметрию, что и тело, могут быть созданы из куба и тетраэдра. В кубе каждая грань делится пополам наклонным ребром. В тетраэдре каждое ребро делится на три части и каждая новая вершина соединяется с центром одной из граней. (В нотации Конвея это гиротетраэдр.)

Ортогональные проекции на 2- и 3-кратные оси

Кубическая и тетраэдральная формы

Связь с диакисдодекаэдром

Тетартоид может быть создан путём удлинения 12 из 24 граней диакисдодекаэдра. (Тетартоид, показанный здесь, сам получен путём увеличения 24 из 48 граней дисдакисдодекаэдра.) Хиральные тетартоиды, основанные на диакисдодекаэдре (в середине) Модель кристалла моделях кристаллов справа показывает тетартоид, созданный путём удлинения синих граней диакисдодекаэдра. Поэтому рёбра между синими гранями покрыты красными скелетными рёбрами.

Декартовы координаты

Следующие точки являются вершинами тетартоида с тетраэдральной симметрией:

(a, b, c); (−a, −b, c); (−n/d₁, −n/d₁, n/d₁); (−c, −a, b); (−n/d₂, n/d₂, n/d₂),

при следующих условиях:

0 ≤ a ≤ b ≤ c,

n = a²c − bc²,

d₁ = a² − ab + b² + ac − 2bc,

d₂ = a² + ab + b² − ac − 2bc,

nd₁d₂ ≠ 0.

Геометрическая свобода

Правильный додекаэдр — это тетартоид с большей симметрией, чем требуется. Триакистетраэдр является вырожденным случаем с 12 рёбрами нулевой длины. (В терминах цветов, использованных выше, это означает, белые вершины и зелёные рёбра поглощаются зелёными вершинами.)

Вариации тетартоида от правильного додекаэдра до триакистетраэдра