Двоичный логарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График двоичного логарифма
Логарифмы по основаниям 2, 10 и e

Двоичный логарифмлогарифм по основанию 2. Другими словами, двоичный логарифм числа есть решение уравнения

Двоичный логарифм числа существует, если Он обозначается (согласно ISO 31-11), или . Примеры:

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны[1]:

Формула Пример
Произведение
Частное от деления
Степень
Корень

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Связь двоичного, натурального и десятичного логарифмов:

Функция двоичного логарифма[править | править вики-текст]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию двоичного логарифма: . Она определена при всех . Область значений: . График этой кривой часто называется логарифмикой[2].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

Ось ординат является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

Применение[править | править вики-текст]

Теория информации[править | править вики-текст]

Двоичный логарифм натурального числа позволяет определить число цифр во внутреннем компьютерном (битовом) представлении этого числа:

(скобки обозначают целую часть числа)

Информационная энтропия — мера количества информации, также основана на двоичном логарифме

Сложность рекурсивных алгоритмов[править | править вики-текст]

Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе «разделяй и властвуй»[3] — таких, как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье, двоичный поиск и т. п.

Другие применения[править | править вики-текст]

Число кругов игры по олимпийской системе равно двоичному логарифму от числа участников соревнований.

В теории музыки, чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов[4].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
  2. Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  3. Harel, David; Feldman, Yishai A. Algorithmics: the spirit of computing. — New York: Addison-Wesley, 2004. — P. 143. — ISBN 978-0-321-11784-7.
  4. Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. М.: Физматгиз, 1963. 20 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37.