Двойная серпоротонда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Двойная серпоротонда
Bilunabirotunda.png
(3D-модель)
Тип многогранник Джонсона
Свойства выпукла
Комбинаторика
Элементы
14 граней
26 рёбер
14 вершин
Грани 8 треугольников
2 квадрата
4 пятиугольника
Конфигурация вершины 4(3.52)
8(3.4.3.5)
2(3.5.3.5)
Развёртка
Johnson solid 91 net.png
Классификация
Обозначения J91, М8
Группа симметрии D2h
Commons-logo.svg Двойная серпоротонда на Викискладе

Двойна́я серпорото́нда[1][2] — один из многогранников Джонсона (J91, по Залгаллеру — М8).

Составлена из 14 граней: 8 правильных треугольников, 2 квадратов и 4 правильных пятиугольников. Каждая пятиугольная грань окружена пятиугольной и четырьмя треугольными; каждая квадратная — четырьмя треугольными; каждая треугольная — двумя пятиугольными и квадратной.

Имеет 26 рёбер одинаковой длины. При 4 рёбрах между треугольной и квадратной гранями двугранные углы равны при других 4 рёбрах между треугольной и квадратной гранями при 8 рёбрах между треугольной и пятиугольной гранями при других 8 рёбрах между треугольной и пятиугольной гранями при 2 рёбрах между двумя пятиугольными гранями

У двойной серпоротонды 14 вершин. В 2 вершинах сходятся две пятиугольных грани и две треугольных; в 4 вершинах (расположенных как вершины прямоугольника) — две пятиугольных и одна треугольная; в остальных 8 (расположенных как вершины прямоугольного параллелепипеда) — пятиугольная, квадратная и две треугольных.

Двойная серпоротонда, совершающая полный оборот шагами по 15°

Метрические характеристики[править | править код]

Если двойная серпоротонда имеет ребро длины , её площадь поверхности и объём выражаются как

В координатах[править | править код]

Двойную серпоротонду с длиной ребра можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты[2]

где — отношение золотого сечения.

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, все три его оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, все три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Родство с архимедовыми телами[править | править код]

С икосододекаэдром[править | править код]

Рассмотрим комплекс из двух пятиугольных и двух треугольных граней двойной серпоротонды, сходящихся в общей вершине; таких четырёхгранных комплекса у многогранника два. Точно такие же комплексы имеются у икосододекаэдра.

Если вписать две двойных серпоротонды в икосододекаэдр с той же длиной ребра, совместив названные четырёхгранные комплексы каждой с аналогичными противоположными друг другу комплексами икосододекаэдра, то противоположные названным комплексам вершины двойных серпоротонд встретятся точно в центре икосододекаэдра.

С ромбоикосододекаэдром[править | править код]

Грани двойной серпоротонды, не входящие в описанные в предыдущем разделе комплексы, в свою очередь, составляют два комплекса из квадратной грани и двух примыкающих к ней треугольных. Точно такие же комплексы имеются у ромбоикосододекаэдра.

Если вписать две двойных серпоротонды в ромбоикосододекаэдр с той же длиной ребра, совместив названные трёхгранные комплексы каждой с аналогичными противоположными друг другу комплексами ромбоикосододекаэдра, то противоположные названным комплексам квадратные грани двойных серпоротонд окажутся расположены друг напротив друга как две грани куба, — который можно будет поместить между ними, и его центр совпадет с центром ромбоикосододекаэдра.

Заполнение пространства[править | править код]

С помощью двойных серпоротонд, кубов и правильных додекаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений, как показано на иллюстрациях.

J91.jpg Honeycomb of regular dodecahedra-cubes-J91.png Bilunabirotunda augmented cube.png
6 двойных серпоротонд вокруг куба

Примечания[править | править код]

  1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 24.
  2. 1 2 А. В. Тимофеенко. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда. (PDF) Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, выпуск 2. — Стр. 187—188, 204.

Ссылки[править | править код]