Гиперболические числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Двойные числа»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гиперболические числа, или двойны́е чи́сла, паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́сла[1] — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и причём j ≠ ±1.

Определение[править | править код]

Алгебраическое определение[править | править код]

Любое гиперболическое число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел Сложение и умножение определяются по правилам:

Числа вида отождествляются с вещественными числами, а Тогда соответствующие тождества принимают вид:

Матричное представление[править | править код]

Гиперболические числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

Арифметические операции[править | править код]

  • Сложение:
  • Вычитание:
  • Умножение:
  • Деление на число, не являющееся делителем нуля:

Свойства[править | править код]

где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид

Если взять и то

и

Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма где и  — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Применение[править | править код]

Гиперболические числа иногда применяются в релятивистской кинематике.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]