Дедекиндово кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Поле — это целостное кольцо, в котором нет ненулевых собственных идеалов, поэтому предыдущее свойство, строго говоря, выполняется. Некоторые авторы добавляют в определение дедекиндова кольца условие «не являющееся полем»; многие другие авторы следуют неявному соглашению, что формулировки всех теорем для дедекиндовых колец можно тривиальным образом подправить, так, чтобы они выполнялись и для полей.

Из определения немедленно следует, что всякая область главных идеалов — дедекиндово кольцо. Дедекиндово кольцо является факториальным тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.

Предыстория появления понятия[править | править исходный текст]

В XIX веке стало распространенной техникой использование колец алгебраических чисел для решения диофантовых уравнений. Например, в попытке определить, какие целые числа представимы в виде x^2+my^2, довольно естественно разложить квадратичную форму на множители (x+\sqrt{-m}y)(x-\sqrt{-m}y), разложение происходит в кольце целых квадратичного поля \mathbb{Q}(\sqrt{-m}). Сходным образом, для натурального n многочлен z^n-y^n (который возникает при решении уравнения Ферма x^n+y^n = z^n) можно разложить в кольце \mathbb{Z}[\zeta_n], где \zeta_n — примитивный nкорень из единицы.

При малых значениях m и n эти кольца целых являются областями главных идеалов; в некотором смысле это является объяснением частичного успеха Ферма (m = 1, n = 4) и Эйлера (m = 2,3, n = 3) в решении этих двух задач. К этому времени специалистам по изучению квадратичных форм была известна процедура проверки кольца целых квадратичного поля \mathbb{Q}(\sqrt{D}) на свойство «быть областью главных идеалов». Гаусс изучал случай D < 0: он нашел девять значений D, удовлетворяющих свойству, и предположил, что других значений нет (Гипотеза Гаусса была доказана более чем через сто лет после этого).

К XX веку математики начали понимать, что условие главных идеалов слишком тонкое, а условие дедекиндовости более крепкое и устойчивое. Например, Гаусс предположил, что существует бесконечно много положительных простых p, таких что кольцо целых поля \mathbb{Q}(\sqrt{p}) — область главных идеалов; однако к сегодняшнему дню неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей, кольца целых которых удовлетворяют этому условию! С другой стороны, кольцо целых числового поля всегда является дедекиндовым.

Другое доказательство этой «устойчивости» — то, что дедекиндовость является локальным свойством: нётерово кольцо R является дедекиндовым тогда и только тогда, когда его локализация по любому максимальному идеалу дедекиндова. Но локальное кольцо дедекиндово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов и кольцом дискретного нормирования, так что для областей главных идеалов дедекиндовость — это глобализация свойства дискретного нормирования.

Эквивалентные определения[править | править исходный текст]

Для целостного кольца R, не являющегося полем, следующие утверждения эквивалентны:

Кольцо Крулля — это «многомерный» аналог дедекиндова кольца: дедекиндовы кольца (не являющиеся полями) — это в точности кольца Крулля размерности 1. Такое определение дедекиндова кольца использовали Бурбаки в «Коммутативной алгебре».

Примеры[править | править исходный текст]

Все области главных идеалов и, следовательно, все кольца дискретного нормирования дедекиндовы.

Кольцо R = \mathcal{O}_K алгебраических целых чисел числового поля K нётерово, целозамкнуто и имеет размерность 1 (чтобы доказать последнее, достаточно заметить, что для любого ненулевого идеала I кольца R, R/I конечно, а конечные целостные кольца являются полями), поэтому R дедекиндово. Это основной, мотивирующий пример для теории дедекиндовых колец.

Другой пример, важность которого не меньше чем у первого, предоставляет алгебраическая геометрия. Пусть C — аффинная алгебраическая кривая над полем k. Тогда координатное кольцо k[C] регулярных функций на C дедекиндово. Действительно, это просто перевод геометрических терминов на алгебраический язык: координатное кольцо аффинного многообразия, по определению, конечнопорожденная k-алгебра (следовательно, нётерово); кривая подразумевает размерность 1, а из отстутствия особенностей следует нормальность, то есть целозамкнутость.

Оба примера являются частными случаями следующей базовой теоремы:

Теорема: пусть R — дедекиндово кольцо с полем частных K, L — конечное расширение K, а S — целое замыкание R в L. Тогда S — дедекиндово кольцо.

Применив эту конструкцию к R = Z, получаем кольцо целых числового поля. R = k[x] соответствует случаю алгебраических кривых без особенностей.

Дробные идеалы и группа классов идеалов[править | править исходный текст]

Пусть R — целостное кольцо с полем частных K. Дробный идеал кольца R — это ненулевой R-подмодуль K, для которого существует ненулевой x из K, такой что xI \subset R.

Для двух дробных идеалов I, J можно определить из произведение IJ как множество всех конечных сумм  \sum_n i_n j_n, \ i_n \in I, \ j_n \in J : произведение IJ также является дробным идеалом. Множество Frac(R) всех дробных идеалов, таким образом, является коммутативной полугруппой, и даже моноидом: тождественный элемент — дробный идеал R.

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

I^* = (R:I) = \{x \in K \ | \ xI \subset R\}.

Очевидно, I^*I \subset R. Равенство достигается, когда I обратим (как элемент моноида Frac(R)). Другимми словами, если I имеет обратный элемент, то этот обратный — I^*.

Главный дробный идеал — это дробный идеал вида xR для ненулевого x из K. Все дробные идеалы обратимы: обратный для xR — это просто \frac{1}{x}R. Обозначим подгруппу главных дробных идеалов Prin(R).

Целостное кольцо R — кольцо главных идеалов тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал главный. В этом случае Frac(R) = Prin(R) = K^*/R^*, поскольку xR и yR совпадают тогда и только тогда, когда xy^{-1} — обратимый элемент R.

Для произвольного целостного кольца R имеет смысл фактормоноид Frac(R) по подмоноиду Prin(R). В общем случае этот фактор является всего лишь моноидом. Легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac(R)/Prin(R) обратим, тогда и только тогда, когда I сам по себе обратим.

Теперь становится понятен смысл третьего определения дедекиндова кольца: в дедекиндовом кольце — и только в дедекиндовом кольце — каждый дробный идеал обратим. Таким образом, дедекиндовы кольца — это класс колец, для которых Frac(R)/Prin(R) является группой, называемой группой классов идеалов Cl(R) кольца R. Cl(R) тривиальна тогда и только тогда, когда R — область главных идеалов.

Одна из базовых теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов идеалов кольца целых числового поля конечна.

Конечнопорожденные модули над дедекиндовыми кольцами[править | править исходный текст]

Помня о существовании чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов, естественно выяснить, можно ли распространить её на случай дедекиндовых колец.

Напомним формулировку структурной теоремы для модуля M над областью главных идеалов. Мы определяем подмодуль кручения T как множество таких элементов m кольца M, что rm = 0 для некоторого ненулевого r из R. Тогда:

(1) T можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения, каждый из которых имеет вид R/I для некоторого ненулевого идеала I кольца R. По китайской теореме об остатках, каждый R/I можно разложить в прямую сумму модулей вида R/P^i, где P^i — степень простого идеала. Получившееся разложение модуля T единственно с точностью до порядка сомножителей.

(2) Существует дополняющий подмодуль P модуля M, такой что M = T \oplus P.

(3) P изоморфен R^n для однозначно определеннного неотрицательного целого n. В частности, P — конечнопорожденный свободный модуль.

Теперь пусть M — конечнопорожденный модуль над дедекиндовым кольцом. Утверждения (1) и (2) остаются верными и для него. Однако из (3) следует, что любой конечнопорождённый модуль без кручения свободен. В частности, из этого следует, что все дробные идеалы являются главными. Иными словами, нетривиальность группы классов идеалов Cl[R] противоречит (3). Оказывается, что число «дополнительных» конечнопорожденных модулей без кручения можно проконтролировать, зная группу классов идеалов. Для произвольного конечнопорожденного модуля над дедекиндовым кольцом верно утверждение

(3') P изоморфно прямой сумме проективных модулей ранга 1: P \cong I_1 \oplus \cdots \oplus I_r. Более того, для любых проективных модулей ранга 1 I_1,\ldots,I_r,J_1,\ldots,J_s

 I_1 \oplus \cdots \oplus I_r \cong J_1 \oplus \cdots \oplus J_s

выполняется тогда и только тогда, когда

r = s

и

I_1 \otimes \cdots \otimes I_r \cong J_1 \otimes  \cdots \otimes J_s.\,

Проективные модули ранга 1 отождествляются с дробными идеалами, поэтому последнее условие можно переформулировать как

 [I_1 \cdots I_r] = [J_1 \cdots J_s] \in Cl(R).

Следовательно, конечнопорожденный модуль ранга n > 0 без кручения можно записать в виде R^{n-1} \oplus I, где I — проективный модуль ранга 1. Класс Стейница модуля P над R — это класс [I] идеала I в группе Cl(R), он однозначно определен.[1] Из этого следует

Теорема: Пусть R — дедекиндово кольцо. Тогда K_0(R) \cong \mathbb{Z} \oplus Cl(R), где K0(R) — группа Гротендика коммутативного моноида конечнопорожденных проективных R-модулей.

Эти результаты были установлены Стейницем в 1912 году.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Fröhlich & Taylor (1991) p.95