Расслоенное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Декартов квадрат»)
Перейти к: навигация, поиск

Расслоенное произведение (послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, англ. pullback) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: Расслоенное произведение часто обозначают как

Двойственное понятие — кодекартов квадрат.

Универсальное свойство[править | править вики-текст]

Пусть в категории дана пара морфизмов и Расслоенное произведение и над  — это объект вместе с морфизмами для которых следующая диаграмма коммутативна:

CategoricalPullback-03.png

Более того, расслоенное произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта с парой морфизмов дополняющих пару до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:

CategoricalPullback-02.png

Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов и

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоенное произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

Примеры[править | править вики-текст]

В категории множеств расслоенное произведение множеств и с отображениями и  — это множество

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется расслоенное произведение в категории коммутативных колец.

Также расслоенное произведение в можно описывать двумя асимметричными способами:

где  — дизъюнктное объединение множеств.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  • Городенцев А. Л. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. — М., 2015. — С. 160.
  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.