Декартов лист

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Декартов лист

Декартов листплоская алгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе . Параметр определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

История[править | править вики-текст]

«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где и принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения[править | править вики-текст]

.
  • Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
, где .
Повёрнутый декартов лист

Часто рассматривают повёрнутую на кривую. Её уравнения выглядят так:

  • В прямоугольной системе:
, где
  • Параметрическое:
  • В полярных координатах:

Свойства[править | править вики-текст]

  • Прямая — ось симметрии, её уравнение: .
  • Точка A называется вершиной, её координаты .
  • Для обеих ветвей существует асимптота , её уравнение: .
  • Площадь области между дугами и
  • Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли .
  • Объём тела, образованного при вращении дуги вокруг оси абсцисс

Исследование кривой[править | править вики-текст]

При имеем или , или , то есть .

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

.

Производная[править | править вики-текст]

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:

.

Приравниваем производную y' к нулю и решаем полученное уравнение относительно x. Получим: . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге — точка и минимум на нижней дуге — точка . Значение функции в этих точках равно:

.

Значение производной y’ в точке равно , то есть касательные в точке взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом .

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]