Дельтаэдры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Дельтаэдр»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Наибольший строго выпуклый дельтаэдр является правильным икосаэдром
Усечённый тетраэдр с шестиугольниками, разбитыми на треугольники. Это тело не является строго выпуклым дельтаэдром, поскольку находящиеся в одной плоскости грани недопустимы по определению.

Дельтаэдр — это многогранник, все грани которого являются правильными треугольниками. Название взято от греческой заглавной буквы дельта (), которая имеет форму равностороннего треугольника. Существует бесконечно много дельтаэдров, но из них только восемь выпуклы, и они имеют 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 граней[1].

Число граней, рёбер и вершин перечислены ниже для каждого из восьми дельтаэдров.

Выпуклые дельтаэдры[править | править код]

Всего существует 8 выпуклых дельтаэдров[2], 3 из которых являются платоновыми телами, а 5 — многогранниками Джонсона.

У дельтаэдра с 6 гранями некоторые вершины имеют степень 3, а некоторые — степень 4. В дельтаэдрах с 10, 12, 14 и 16 гранями некоторые вершины имеют степень 4, а некоторые — степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров принадлежат классу правильногранных многогранников — выпуклых многогранников с правильными многоугольниками в качестве граней.

Не существует выпуклого дельтаэдра с 18 гранями[3]. Однако икосаэдр со стянутым ребром[en] даёт пример октаэдра, который либо может быть сделан выпуклым с 18 неправильными гранями, либо с двумя наборами по три равносторонних треугольника, лежащими в одной плоскости.

Правильные дельтаэдры
Название Изображение Количество
вершин
Количество
рёбер
Количество
граней
Конфигурация
вершины
Группа симметрии
Правильный тетраэдр Tetrahedron.jpg 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
Правильный октаэдр (четырёхугольная бипирамида) Octahedron.jpg 6 12 8 6 × 34 Oh, [4,3]
Правильный икосаэдр Icosahedron.svg 12 30 20 12 × 35 Ih, [5,3]
Дельтаэдры Джонсона
Треугольная бипирамида Triangular dipyramid.png 5 9 6 2 × 33
3 × 34
D3h, [3,2]
Пятиугольная бипирамида Pentagonal dipyramid.png 7 15 10 5 × 34
2 × 35
D5h, [5,2]
Плосконосый двуклиноид Snub disphenoid.png 8 18 12 4 × 34
4 × 35
D2d, [2,2]
Трижды наращённая треугольная призма Triaugmented triangular prism.png 9 21 14 3 × 34
6 × 35
D3h, [3,2]
Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида Gyroelongated square dipyramid.png 10 24 16 2 × 34
8 × 35
D4d, [4,2]

Нестрого выпуклые случаи[править | править код]

Существует бесконечно много дельтаэдров с копланарными (лежащими в одной плоскости) треугольниками. Если множества копланарных треугольников считаются одной гранью, можно насчитать меньше граней, рёбер и вершин. Копланарные треугольные грани могут быть слиты в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие равносторонние многоугольные грани. Каждая грань должна быть выпуклым полиамондом, таким как Polyiamond-1-1.svg, Polyiamond-2-1.svg, Polyiamond-3-1.svg, Polyiamond-4-2.svg, Polyiamond-4-3.svg, Polyiamond-5-1.svg, Polyiamond-6-1.svg и Polyiamond-6-11.svg, ...[4]

Некоторые небольшие примеры

Копланарные дельтаэдры
Рисунок Название Граней Рёбер Вершин Конфигурации вершин Группа симметрии
Augmented octahedron.png Наращенный октаэдр[en]
Наращение
1 тетр. + 1 окт.
10 Polyiamond-1-1.svg 15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36
C3v, [3]
4 Polyiamond-1-1.svg
3 Polyiamond-2-1.svg
12
Gyroelongated triangular bipyramid.png Треугольный трапецоэдр[en]
Наращение
2 тетр. + 1 окт.
12 Polyiamond-1-1.svg 18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36
C3v, [3]
6 Polyiamond-2-1.svg 12
Tet2Oct solid.png Наращение
2 тетр. + 1 окт.
12 Polyiamond-1-1.svg 18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36
C2v, [2]
2 Polyiamond-1-1.svg
2 Polyiamond-2-1.svg
2 Polyiamond-3-1.svg
11 7
Triangulated monorectified tetrahedron.png Треугольная усечённая пирамида
Наращение
3 тетр. + 1 окт.
14 Polyiamond-1-1.svg 21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36
C3v, [3]
1 Polyiamond-1-1.svg
3 Polyiamond-3-1.svg
1 Polyiamond-4-3.svg
9 6
TetOct2 solid2.png Удлинённый октаэдр[en]
Наращение
2 тетр. + 2 окт.
16 Polyiamond-1-1.svg 24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36
D2h, [2,2]
4 Polyiamond-1-1.svg
4 Polyiamond-3-1.svg
12 6
Triangulated tetrahedron.png Тетраэдр
Наращение
4 тетр. + 1 окт.
16 Polyiamond-1-1.svg 24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36
Td, [3,3]
4 Polyiamond-4-3.svg 6 4
Tet3Oct2 solid.png Наращение
3 тетр. + 2 окт.
18 Polyiamond-1-1.svg 27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36
D2h, [2,2]
2 Polyiamond-1-1.svg
1 Polyiamond-2-1.svg
2 Polyiamond-3-1.svg
2 Polyiamond-4-2.svg
14 9
Double diminished icosahedron.png Икосаэдр со стянутым ребром[en] 18 Polyiamond-1-1.svg 27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36
C2v, [2]
12 Polyiamond-1-1.svg
2 Polyiamond-3-1.svg
22 10
Triangulated truncated triangular bipyramid.png Двуусечённая бипирамида[en]
Наращение
6 тетр. + 2 окт.
20 Polyiamond-1-1.svg 30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36
D3h, [3,2]
2 Polyiamond-1-1.svg
6 Polyiamond-3-1.svg
15 9
Augmented triangular cupola.png Трёхскатный купол
Наращение
4 тетр. + 3 окт.
22 Polyiamond-1-1.svg 33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36
C3v, [3]
3 Polyiamond-1-1.svg
3 Polyiamond-3-1.svg
1 Polyiamond-4-3.svg
1 Polyiamond-6-11.svg
15 9
Triangulated bipyramid.png Треугольная бипирамида
Наращение
8 тетр. + 2 окт.
24 Polyiamond-1-1.svg 36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36
D3h, [3]
6 Polyiamond-4-3.svg 9 5
Augmented hexagonal antiprism flat.png Шестиугольная антипризма 24 Polyiamond-1-1.svg 36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36
D6d, [12,2+]
12 Polyiamond-1-1.svg
2 Polyiamond-6-11.svg
24 12
Triangulated truncated tetrahedron.png Усечённый тетраэдр
Наращение
6 тетр. + 4 окт.
28 Polyiamond-1-1.svg 42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36
Td, [3,3]
4 Polyiamond-1-1.svg
4 Polyiamond-6-11.svg
18 12
Triangulated octahedgon.png Тетракискубоктаэдр[en]
Октаэдр
Наращение
8 тетр. + 6 окт.
32 Polyiamond-1-1.svg 24 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36
Oh, [4,3]
8 Polyiamond-4-3.svg 12 6

Невыпуклые дельтаэдры[править | править код]

Невыпуклых и тороидальных дельтаэдров существует бесконечно много.

Пример дельтаэдра с самопересекающимися гранями

Другие невыпуклые дельтаэдры можно получить путём добавления пирамид к граням всех 5 правильных многогранников:

5-cell net.png Pyramid augmented cube.png Stella octangula.png Pyramid augmented dodecahedron.png Tetrahedra augmented icosahedron.png
Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Триакисоктаэдр
(stella octangula)
Пентакисдодекаэдр Триакисикосаэдр
12 треугольников 24 треугольников 60 треугольников

Другие наращения тетраэдров:

Примеры: Наращенные тетраэдры
Biaugmented tetrahedron.png Triaugmented tetrahedron.png Quadaugmented tetrahedron.png
8 треугольников 10 треугольников 12 треугольников

Также путём добавления к граням перевёрнутых пирамид:

Third stellation of icosahedron.png
Выемчатый додекаэдр[en]
Toroidal polyhedron.gif
Тороидальный дельтаэдр
60 треугольников 48 треугольников

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Freudenthal H., van der Waerden B. L. Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid") // Simon Stevin. — 1947. — Т. 25. — С. 115–128. (Авторы показали, что существует только 8 выпуклых дельтаэдров. )
  • Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra // Mathematics Magazine. — 1978. — Т. 51, вып. 1. — С. 55–57.