Десятиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Правильный десятиугольник
Regular decagon.svg
Сторон и вершин 10
Символ Шлефли {10}
Внутренний угол 144°
Симметрия Диэдрическая ( D_{10}), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольник[править | править вики-текст]

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t - длина стороны):

 A = \frac{5}{2}t^2 \cot \frac{\pi}{10} = \frac{5t^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \approx 7.694 t^2.

Альтернативная формула  A=2.5dt, где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

 d=2t\left(\cos\tfrac{3\pi}{10}+\cos\tfrac{\pi}{10}\right),

и может быть представлен в радикалах как

 d=t\sqrt{5+2\sqrt{5}}.

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна  \tfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\tfrac{1}{\varphi}, где  \varphi - золотое сечение.

Радиус описанной окружности декагона равен

R=\frac{\sqrt{5}+1}{2}t,

а радиус вписанной окружности

r=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}t.

Построение[править | править вики-текст]

По теореме Гаусса - Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку.

Построение правильного десятиугольника

Иначе его можно построить следующим образом:

  1. Построить сначала правильный пятиугольник.
  2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
  3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника[править | править вики-текст]

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный 2m-угольник можно разбить на m(m-1)/2 ромбов. Для декагона m=5, так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника
Rhombic dissected decagon.png
Rhomb dissected dodecagon2.png

Пространственный десятиугольник[править | править вики-текст]

Правильные пространственные декагоны
{5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ }
Regular skew polygon in pentagonal antiprism.png

Пентагональная антипризма

Regular skew polygon in pentagrammic antiprism.png

Пентаграммная антипризма

Regular skew polygon in pentagrammic crossed-antiprism.png

Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник - это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного декагона все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D5d [2+,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные декагоны.

Ортогональные проекции многогранников
Dodecahedron petrie.pngДодекаэдр Icosahedron petrie.pngИкосаэдр Dodecahedron t1 H3.pngИкосододекаэдр Dual dodecahedron t1 H3.pngРомботриаконтаэдр

Многоугольники Петри[править | править вики-текст]

Правильный пространственный десятиугольник - это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

A9 D6 B5
9-simplex t0.svg9-симплекс 6-cube t5 B5.svg411 6-demicube t0 D6.svg131 5-cube t4.svg5-ортоплекс 5-cube t0.svg5-куб

Внешние ссылки[править | править вики-текст]