Десятичная система счисления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская
Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Десяти́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.

Определение[править | править вики-текст]

Один десятичный разряд в десятичной системе счисления иногда называют декадой. В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.

Целое число икс (х) в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10:

x = \pm \sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k, где \ a_k — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0 \leq a_k \le 9.

Обычно для ненулевого числа икс (х) требуют, чтобы старшая цифра a_{n-1} в десятичном представлении x была также ненулевой.

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

 103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}.

С помощью эн (n) позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от 0 до 10^n-1, то есть, всего 10^n различных чисел.

Дробные числа записываются в виде строки цифр с разделителем десятичная запятая, называемой десятичной дробью:

a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k 10^k,

где n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

Двоично-десятичное кодирование[править | править вики-текст]

В двоичных компьютерах применяют двоично-десятичное кодирование десятичных цифр (Binary-Coded Decimal), при этом для одной двоично-десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда (двоичная тетрада). Двоично-десятичные числа требуют большего количества битов для своего хранения[1]. Так, четыре двоичных разряда имеют 16 состояний, и при двоично-десятичном кодировании 6 из 16 состояний двоичной тетрады не используются[2].

Таблица сложения в десятичной системе счисления[править | править вики-текст]

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Таблица умножения в десятичной системе[править | править вики-текст]

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

История[править | править вики-текст]

Десятичная непозиционная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр (от 1 до 1 000 000) возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в Древнем Египте (египетская система счисления).

В другой великой цивилизации — вавилонской с её шестидесятеричной системой — за две тысячи лет до н. э. внутри шестидесятеричных разрядов использовалась позиционная десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр[3]. Египетская десятичная система повлияла на аналогичную систему в первых европейских системах письма, таких как критские иероглифы, линейное письмо А и линейное письмо Б.

Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название — «арабская» (арабские цифры).

Кипу инков[править | править вики-текст]

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы[4], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования[5]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных[6]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись[7].

Применение[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. «AS-Level Computing» 5th edition — P. M. (Pat M.) Heathcote, S. Langfield — 2004—224 pages — Page 18: «A disadvantage of using BSD is that more bits are required to store a number than when using pure binary.» [1] ISBN 1-904467-71-7
  2. Schaum’s outline of theory and problems of essential computer mathematics By Seymour Lipschutz, McGraw-Hill. 1987. «Remark: Any 4-bit code allows 2^4 = 16 combinations. Because the 4-bit BCD codes need only 10 of the combinations … 6 combinations remains available» [2] ISBN 0-07-037990-4
  3. Знакомство с системами счисления
  4. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3.
  5. Experts 'decipher' Inca strings. Архивировано из первоисточника 18 августа 2011.
  6. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus. - стр.49.
  7. Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis». Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.