Десятичный логарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График десятичного логарифма

Десятичный логарифмлогарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа есть решение уравнения

Десятичный логарифм числа существует, если Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его . Примеры:

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны[1]:

Формула Пример
Произведение
Частное от деления
Степень
Корень

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц[⇨] производилось по следующему алгоритму:

  1. Найти в таблицах логарифмы чисел .
  2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения .
  3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов[2]:

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма[править | править вики-текст]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: Она определена при всех Область значений: . График этой кривой часто называется логарифмикой[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

Ось ординат является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

Применение[править | править вики-текст]

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа (характеристику логарифма) легко определить.

  • Если , то на 1 меньше числа цифр в целой части числа . Например, сразу очевидно, что находится в промежутке .
  • Если , то ближайшее к целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, находится в интервале .

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на Например:

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от до [4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10n
Число логарифм характеристика мантисса запись
n lg(n) C = floor(lg(n) ) M = (lg(n) − характеристика)
5 000 000 6.698 970... 6 0.698 970... 6.698 970...
50 1.698 970... 1 0.698 970... 1.698 970...
5 0.698 970... 0 0.698 970... 0.698 970...
0.5 −0.301 029... −1 0.698 970... 1.698 970...
0.000 005 −5.301 029... −6 0.698 970... 6.698 970...

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса.[прояснить]

Десятичная логарифмическая шкала на логарифмической линейке

История[править | править вики-текст]

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)[6].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов[8]:

  1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
  2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература[править | править вики-текст]

Теория логарифмов
История логарифмов

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
  3. Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  4. Ошибка в сносках?: Неверный тег <ref>; для сносок ZAY94 не указан текст
  5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406..
  6. История математики, том II, 1970, с. 62..
  7. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е.. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
  8. Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.