Дзета-функция Артина — Мазура

Дзета-функция Артина — Мазура — функция, определяющаяся для заданной функции $f$ как формальный степенной ряд:

$\zeta _{f}(z)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}\operatorname {Fix} (f^{n}){\bigr |}{\frac {z^{n}}{n}}\right)$,

где $\operatorname {Fix} (f^{n})$ — множество неподвижных точек $n$-й итерации функции $f$, а $|\operatorname {Fix} (f^{n})|$ — число неподвижных точек (то есть мощность этого множества).

Названа в честь Майкла Артина и Барри Мазура; используется при изучении итерационных функций, возникающих в динамических системах и фракталах.

Определена только в том случае, если множество неподвижных точек конечно для каждого $n$; определение формально в том смысле, что ряд не всегда имеет положительный радиус сходимости. Инвариантна относительно топологического сопряжения .

В некотором смысле подобна локальной дзета-функции, если считать, что диффеоморфизм на компактном многообразии заменяет отображение Фробениуса для алгебраического многообразия над конечным полем.

Дзета-функцию Ихары от графа можно интерпретировать как пример дзета-функции Артина — Мазура. Дзета-функция Лефшеца по сути является топологической интерпретацией дзета-функции Артина — Мазура.

Литература

• Artin, Michael; Mazur, Barry (1965), On periodic points, Annals of Mathematics, Second Series, vol. 81, no. 1, Annals of Mathematics, pp. 82—99, doi:10.2307/1970384, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970384, MR 0176482
• Ruelle, David (2002), Dynamical zeta functions and transfer operators (PDF), Notices of the American Mathematical Society, vol. 49, no. 8, pp. 887—895, MR 1920859
• Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu (2000), Zeta functions of finite graphs, J. Math. Sci. Univ. Tokyo, vol. 7, pp. 7—25, CiteSeerX 10.1.1.531.9769
• Terras, Audrey (2010), Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 128, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11367-0, Zbl 1206.05003