Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю:

$D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}\end{bmatrix}}$.

Диагональная матрица $D$ с элементами $(d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})$, стоящими на главной диагонали, обозначается $\mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\}$.

Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной. Диагональная матрица симметрична: $D^{\intercal }=D$. Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.

Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно:

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n}\}$,

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}\}$.

Отсюда следует, что для того, чтобы возвести диагональную матрицу D в натуральную степень n, необходимо возвести в эту степень каждый из её диагональных элементов.

Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: $\mathrm {det} \,D=d_{11}d_{22}\dots d_{nn}$.

Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть:

$D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases}}$.

Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

$D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22}^{-1},\dots ,d_{nn}^{-1}\}$.

Диагональными являются нулевая матрица, единичная матрица, скалярная матрица (все элементы главной диагонали равны).

В некоторых случаях недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса; достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы (в общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме).

При умножении произвольной матрицы A на диагональную матрицу слева, каждая строка матрицы A умножается на соответствующий элемент диагональной матрицы (первая строка умножается на $d_{11}$, вторая на $d_{22}$ и т.д.), а при умножении произвольной матрицы A на диагональную матрицу справа, каждый столбец матрицы A аналогично умножается на соответствующий элемент диагональной матрицы.

Диагональные элементы диагональной матрицы являются её собственными значениями.