Диагональная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Определение[править | править вики-текст]

Квадратная матрица , где для всяких , называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица имеет вид:

Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной.

Обозначение[править | править вики-текст]

Диагональная матрица c элементами , стоящими на главной диагонали, обозначается следующим образом:

.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Диагональная матрица является симметричной:
.
  • Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.
  • Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:
.

Примеры[править | править вики-текст]

Нулевая матрица

и единичная матрица

представляют собой простейшие примеры диагональных матриц.

Приведение к диагональной форме[править | править вики-текст]

Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса. Достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы. В общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]